Enunciado

Durante uma avalanche, uma pedra de 520   k g desliza a partir do repouso, descendo a encosta de uma montanha que tem 500   m de comprimento e 300   m de altura. O coeficiente de atrito cinético entre a pedra e a encosta é 0,25 . (a) Se a energia potencial gravitacional U do sistema rocha-Terra é nula na base da montanha, qual é o valor de U imediatamente antes de começar a avalanche? (b) Qual é a energia transformada em energia térmica durante a avalanche? (c) Qual é a energia cinética da pedra ao chegar à base da montanha? (d) Qual é a velocidade da pedra nesse instante?

Passo 1

Fala galerinha, tudo certo? Como são muitos itens pra gente fazer, vamos devagarzinho fazendo um passo de cada vez.

  1. Considerando o eixo de referência localizado na base da montanha, com o sentido positivo de y para cima, podemos calcular a energia potencial inicial da seguinte forma:

U i = m . g . y i

U i = ( 520   k g ) . ( 9,81   m / s ² ) . ( 300 m )

U i = 1,53 . 10 6   J

Passo 2

b) Como f k = μ k . F N e ∆ E t = f k . d , temos:

Onde:

f k é a força de atrito.

F N é a força normal

∆ E t é a variação da energia térmica, e d é a distância percorrida, temos:

∆ E t = μ k . F N . d

Lembrando que nesse caso a gente tá falando de plano inclinado e a força normal nesses casos é dada por:

F N = P c o s θ

F N = m g c o s θ

Logo.

∆ E t = μ k . m . g . c o s θ . d

O valor de θ e da distância d podem ser encontrados da seguinte forma:

s e n θ = 300 500 = 0,6

θ =   a r c s e n 0,6

θ =   36,87 °

Enquanto a distância d percorrida pela pedra vai ser o próprio comprimento da montanha, né!

d = 500 m

E por fim, encontrando a nossa variação de energia térmica:

∆ E t = ( 0,25 ) . ( 520   k g ) . ( 9,81   m / s ² ) . c o s ⁡ ( 36,87 ° ) . ( 500 m )

∆ E t = 5,1 .   10 5   J

Passo 3

c) Com o nosso teorema da conservação da energia a gente pode isolar a energia cinética final.

∆ E t + Δ E M = 0

Δ E t = - Δ E M

Δ E t = - ( ∆ K + ∆ U )

Não esqueça do sinal de menos ali em cima, considerando ele, vamos ficar com a seguinte expressão:

∆ E t = K i - K f + U i - U f

K f = K i + U i - U f - ∆ E t

Perceba que não há K i pois a rocha sai do repouso no topo da montanha, e não há U f pois na base da montanha a rocha estará na altura do nível de referência.

k f = 0 + U i - 0 - Δ E t

E substituindo os valores encontrados, a gente pode encontrar a nossa energia cinética final.

K f = 1,53.10 6 - 5,1.10 5

K f = 1,02 . 10 6   J

Passo 4

d) Para encontrar a velocidade final agora é fácil, já que temos o valor da energia cinética final:

K f = 1 2 . m . v ²

E substituindo os valores que temos:

1,02.10 6 = 1 2 520 v 2

E realizando essa conta, encontramos que:

v = 62,6 m / s

Que é a velocidade da nossa pedra ao chegar no topo da montanha!

Resposta

a) U i = 1,53 . 10 6   J

b) ∆ E t = 5,1 .   10 5   J

c) K f = 1,02 .   10 6   J

d) v = 62,6   m / s

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