Enunciado

Use as aproximações do Problema 61 para calcular (a) a altitude em relação à superfície na qual o módulo do campo magnético da Terra é 50,0 % do valor na superfície na mesma latitude; (b) o módulo máximo do campo magnético na interface do núcleo com o manto, 2900   k m abaixo da superfície da Terra; (c) o módulo e (d) a inclinação do campo magnético na Terra no polo norte geográfico. (e) Explique por que os valores calculados nos itens (c) e (d) não são necessariamente iguais aos valores medidos.

Passo 1

Essa questão pede para usarmos os resultados do problema 61 para calcularmos algumas coisas com relação ao campo magnético da Terra.

No item (a) devemos achar qual a altitude na qual o campo magnético terrestre é 50,0 % do seu valor na superfície. Para isso, vamos usar a expressão dada no problema 61:

B = μ 0 μ 4 π r 3 1 + 3   s e n 2   λ

Essa fórmula dá o módulo do campo magnético a uma distância r do centro da Terra e λ representa a latitude. Na superfície da Terra, r = R , enquanto a uma altitude h , r = R + h . Como queremos que B R + h = 0,5   B ( R ) , temos que

B R + h B ( R ) = R R + h 3 = 0,5 = 1 2

Assim,

R R + h = 1 2 3 ⇒ R + h = R   2 3 ⇒ h = R 2 3 - 1

Usando R = 6370   k m , obtemos

h = 1,66 ⋅ 10 3   k m

Passo 2

No item (b) nós queremos o módulo máximo do campo para uma profundidade de 2900   k m . Como estamos interessados no módulo máximo, vamos fazer s e n   λ = 1 . Assim,

1 + 3   s e n 2 λ = 4 = 2

Portanto,

B = μ 0 μ 2 π r 3

Como r é a distância até o centro da Terra:

r = R - p r o f u n d i d a d e = 6370 - 2900 = 3470   k m

Assim, com μ = 8,00 ⋅ 10 22   A m 2 (momento magnético da Terra), obtemos

B = 3,83 ⋅ 10 - 4   T

Passo 3

Nos itens (c) e (d), temos que estudar o campo no polo norte geográfico. Sabemos que (ver seção 32-6) que o ângulo entre o eixo magnético e o eixo de rotação da Terra é 11,5 ° . Assim, a latitude magnética λ vai ser

λ = 90,0 ° - 11,5 ° = 78,5 °

Assim, para achar o campo, usamos r = R = 6370   k m e λ = 78,5 ° :

B = B = μ 0 μ 4 π r 3 1 + 3   s e n 2   λ = 6,11 ⋅ 10 - 5   T

Já para a inclinação do campo, no problema 61 foi dado que

tan ⁡ ϕ = 2 tan ⁡ λ

Assim,

ϕ = arctan ⁡ 2 tan ⁡ 78,5 °

Portanto,

ϕ = 84,2 °

Passo 4

O principal motivo de os valores calculados não concordarem tão bem com os valores medidos é que as fórmulas usadas pressupõem que o campo magnético da Terra é o campo de um dipolo, o que não é tão verdadeiro assim.

Resposta

h = 1,66 ⋅ 10 3   k m

B = 3,83 ⋅ 10 - 4   T

B = 6,11 ⋅ 10 - 5   T

ϕ = 84,2 °

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