Enunciado

Use integração para mostrar que o momento de inércia de uma casca esférica fina de raio R e massa m , em relação a um eixo que passa pelo seu centro, vale 2 m R 2 3 .

Passo 1

Aqui é só a gente usar a definição! O momento de inércia de uma esfera com relação a um diâmetro é:

I = 2 5 m R 2

A massa da esfera é:

m = ρ 4 3 π R 3

Substituindo:

I = 2 5 ρ 4 3 π R 3 R 2 = 8 15 ρ π R 5

Derivando:

d I = 8 3 ρ π R 4 d R

A massinha d m pode ser calculada derivando a massa:

d m = ρ 4 3 π 3 R 2 d R

d m = 4 π ρ R 2 d R

d R = d m 4 π ρ R 2

Passo 2

Juntando d m e d I para eliminar d R :

d I = 8 3 ρ π R 4 × d m 4 π ρ R 2

d I = 2 3 R 2 d m

Passo 3

Agora é só integrar!

∫ d I = ∫ 2 3 R 2 d m = 2 R 2 3 ∫ d m

I = 2 m R 2 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Dois cilindros homogêneos, ambos girando em tomo do respectivo eixo central (longitudinal) com uma velocidade angular de 235r a d / s , têm a mesma massa de1,25k g e raios diferentes. Qual é a energia
A Fig. 10-33 mostra um arranjo de 15 discos iguais colados para formar uma barra de comprimento L=1 , 0000m e massa total M=100,0m g . O arranjo pode girar em tomo de um eixo perpendicular que passa p
Use a Equação (9.20) para calcular o momento de inércia de um disco maciço, uniforme, de raio R e massa M em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco passando pelo seu centro.
Centro de massa de um objeto com massa distribuída. Qual é o trabalho realizado por um lutador para elevar o centro de massa de seu oponente de 120kg até uma distância vertical igual a 0.700m?
Suponha que o cilindro maciço do dispositivo descrito no Exemplo 9.9 (seção 9.5) seja substituído por uma casca cilíndrica com o mesmo raio R e com a mesma massa M. O cilindro é ligado ao eixo por mei