Enunciado

Duas massas pontuais, m 1 e m 2 , estão separadas por uma barra sem massa de comprimento L . (a) Escreva uma expressão para o momento de inércia I em relação a um eixo perpendicular à barra, que passa por ela a uma distância x da massa m 1 . (b) Calcule d I d x e mostre que I é mínimo quando o eixo passa pelo centro de massa do sistema.

Passo 1

  1. Bora lá, galera, mais uma questãozinha de momento de inércia. Aqui a gente vai aplicar o momento de inércia para o sistema de partículas, que é a soma do momento de inércia de cada uma das partículas.
  2. I = ∑ m i r i 2

    Se o eixo está a uma distância x da massa m 1 , então ele está a uma distância L - x da massa m 2 .

    I = m 1 x 2 + m 2 L - x 2

    Passo 2

  3. Vamos calcular a derivada de I . Aqui é moleza, vai ser uma derivada de polinômios.

Não esquece: d x n d x = n x n - 1 .

Expandindo o quadrado perfeito do segundo termo de I , vai ficar:

I = m 1 x 2 + m 2 L 2 - 2 m 2 L x + m 2 x 2

Agora vamos derivar!

d I d x = 2 m 1 x + 0 - 2 m 2 L + 2 m 2 x

d I d x = 2 m 1 x + m 2 x - m 2 L

Lembra lá do cálculo que os pontos de máximos e mínimos ocorrem quando a derivada dá 0 ? Então é só a gente igualar a derivada a 0 para achar o que queremos!

d I d x = 0

m 1 x + m 2 x - m 2 L = 0

Arrumando a casa:

m 1 + m 2 x = m 2 L

x = m 2 L m 1 + m 2

Que é por definição a distância do centro de massa até m 1 .

Pronto, achamos o ponto crítico! Agora é só a gente mostrar que esse ponto é de mínimo. Como fazemos isso? Mostrando que a segunda derivada é positiva!

Passo 2

Vamos calcular agora a segunda derivada.

d I d x = 2 m 1 x + m 2 x - m 2 L

d 2 I d x 2 = 2 m 1 + m 2

Que é claramente positivo, porque é a soma de duas coisas positivas. Então shoooow!

Resposta

  1. I = m 1 x 2 + m 2 L - x 2
  2. d I d x = 2 m 1 x + m 2 x - m 2 L
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma barra delgada e uniforme de 50,0 cm de comprimento e massa de 0,320 kg é encurvada no seu centro formando um V com ângulo de 70,0 ° no vértice. Ache o momento de inércia desse objeto em formato de
Uma ponte levadiça homogênea de 8,0 m de comprimento está presa à estrada por uma dobradiça livre de atrito em uma das extremidades, e ela pode ser levantada por um cabo atado à outra extremidade. A p
Um cilindro de massa M e raio R possui uma densidade que cresce linearmente a partir do seu eixo, ρ = α r , onde α é uma constante positiva. a) Calcule o momento de inércia do cilindro em relação a um
Calcule o momento de inércia de um cubo homogêneo de massa M e aresta a , em relação a um diâmetro (eixo que passa pelos centros de duas faces opostas).
Calcule o momento de inércia de um cone circular reto homogêneo, de massa M e raio da base R , em relação ao eixo do cone. Sugestão considere o cone como uma pilha de discos cirulares de alturas infin