Enunciado

Use o teorema do trabalho-energia para resolver os seguintes problemas. Você pode usar as leis de Newton para conferir suas respostas. Despreze a resistência do ar em todos os casos.

  1. Um galho cai do topo de uma árvore de 95,0   m de altura, partindo do repouso. Qual sua velocidade ao atingir o solo?
  2. Um vulcão ejeta uma rocha diretamente de baixo para cima a 525   m no ar. Qual a velocidade da rocha no instante em que saiu do vulcão?
  3. Uma esquiadora que se move a 5,0   m / s encontra um longo trecho horizontal áspero de neve com coeficiente de atrito cinético de 0,220 com seu esqui. Qual distância ela percorre desse trecho antes de parar?
  4. Suponha que o trecho áspero do item (c) tivesse apenas 2,90   m de comprimento. Qual a velocidade da esquiadora quando ela chegou ao final do trecho?
  5. Na base de uma colina coberta de neve e sem atrito que se ergue a 25,0 ° acima da horizontal, um tobogã possui velocidade escalar de 12,0   m / s em direção à colina. Que altura vertical acima da base ela atinge antes de parar?

Passo 1

Opa, bora resolver esse exercício! Aqui temos 5 probleminhas diferentes em que devemos usar o teorema do trabalho-energia para resolver!

Antes de tudo vamos relembrar o que é o teorema trabalho – energia:

W = K 2 - K 1

Onde W é o trabalho total, K 2 é a energia cinética final e K 1 é a energia cinética inicial. Você deve ficar esperto aqui: sempre que falarmos em energia cinética, podemos falar de velocidade! Beleza? Agora vamos aplicar o teorema para cada problema, borá lá!

Passo 2

  1. Na letra (a) temos um galho que cai de uma altura de 95,0   m , partindo do repouso e devemos calcular qual sua velocidade ao atingir o solo .
  2. Vamos considerar dois pontos: no topo de árvore e no chão. No topo a energia cinética é zero, pois o galho parte do repouso. O trabalho total vai ser dado pelo trabalho da força gravitacional. O ângulo entre o deslocamento e a força é θ = 0 ° . E lembra que falei sobre a energia cinética estar relacionada com a velocidade, então, é isso mesmo! Vou substituir a energia cinética final pela expressão m v 2 / 2 e daí encontrar a velocidade. Saca só:

    W = K 2 - K 1

    P . d   . cos ⁡ θ = m v 2 2 - 0

    m g d   . cos ⁡ 0 = m v 2 2

    g d = v 2 2

    v 2 = 2 g d ∴ v = 2 g d = 2.9,8.95 = 43,2 m / s

    Beleza, vamos pro próximo item?

    Passo 3

  3. Aqui temos um vulcão que ejeta uma rocha diretamente de baixo para cima a 525   m no ar. Devemos responder qual a velocidade da rocha no instante em que saiu do vulcão!
  4. Agora temos que a velocidade final será zero (assim como a energia cinética final), pois a altura máxima é atingida quando a rocha para momentaneamente no ar. O trabalho total será dado pelo trabalho da força gravitacional, mas ao contrário do outro item, o ângulo entre deslocamento e força é 180 ° , pois o objeto está subindo enquanto a força gravitacional é direcionada de cima para baixo. Substituindo na fórmula do teorema:

    W = K 2 - K 1

    m g   . d   . cos ⁡ 180 = 0 - m v 2 2

    - m d g = - m v 2 2

    v = 2 g d = 2.9,8.525 = 101 m / s

    Tranquilo? Próxima!

    Passo 4

  5. Queremos saber qual a distância que uma esquiadora percorre antes de parar depois que começa a andar em um trecho com μ c = 0,220 . Sua velocidade inicialmente era 5,0   m / s :
  6. Aqui o trabalho total realizado vai ser dado pelo trabalho da força de atrito ( f a t = N μ = m g μ ) . O deslocamento d dela é contrário à força de atrito, então θ = 180 ° . A energia cinética final é zero (pois ela para) e a inicial conseguimos calcular porque temos a velocidade inicial. Beleza? Vamos jogar tudo isso na fórmula?

    W = K 2 - K 1

    f a t . d . cos ⁡ 180 = 0 - m v 2 2

    - f a t . d = - m v 2 2

    m g μ . d = m v 2 2

    d = v 2 2 g μ = 5 2 2.9,8.0,22 = 5,8 m

    Bora pra próxima?

    Passo 5

  7. Agora o problema nos dá o deslocamento e pergunta qual a velocidade ao final desse percurso.
  8. Beleza, vamos pegar a expressão do item anterior da força de atrito e substituir os novos valores, mas agora a energia cinética final não é zero, saca só:

    f a t . d . cos ⁡ 180 = m v f 2 2 - m v i 2 2

    Aqui a velocidade inicial continua a mesma 5 m / s , e queremos saber a velocidade final. As massas vão se cancelar em todos os termos.

    - m g μ . d = m v f 2 2 - m v i 2 2

    - g d = v f 2 2 - v i 2 2

    Substituindo os valores temos:

    - 2.9,8.2,9.0,22 = v f 2 - 5 2

    v f 2 = - 12,50 + 25

    v f = 12,49 = 3,53 m / s

    Vamos pra última?

    Passo 6

  9. Aqui o interessante a gente notar é que o teorema trabalho energia envolve a velocidade escalar, e não alguma componente da velocidade.

Então aquele ângulo ali é só pra confundir mesmo! Outra coisa, o deslocamento que estamos vendo é o vertical, que é na direção oposta θ = 180 ° a força gravitacional, então nem aqui a gente vai usar aquele 25 ° . O trabalho vai ser dado pela força gravitacional e a energia cinética final vai ser zero. Jogando tudo isso na fórmula do teorema:

W = K 2 - K 1

m × g × d × c o s 180 = 0 - m v 2 2

- m g d = - m v 2 2

v 2 = 2 g d

d = v 2 2 g = 12 2 2.9,8 = 7,35 m

Tranquilo? Vamos pra próxima questão?

Resposta

a ) 43,2 m / s

b )   101 m / s

c ) 5,8 m

d ) 3,53 m / s

e ) 7,35 m

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