Enunciado

Vários planetas (Júpiter, Saturno, Urano) possuem anéis, talvez formados por fragmentos que não chegaram a formar um satélite. Muitas galáxias também contêm estruturas em forma de anel. Considere um anel fino homogêneo de massa M e raio externo R . (a) Qual é a atração gravitacional que o anel exerce sobre uma partícula de massa m localizada no eixo central, a uma distância x do centro? (b) Suponha que a partícula do item (a) seja liberada a partir do repouso. Com que velocidade a partícula passa pelo centro do anel?

Passo 1

Precisamos calcular o campo gravitacional gerado pelo anel em um certo ponto do eixo que passa pelo centro do anel.

Vamos começar com um argumento de simetria. Sabemos que a força gerada pelo anel vai estar na direção do eixo x , apontando para o centro do anel, pois as forças em todas as outras direções se cancelam.

Ou seja, já sabemos a direção e o sentido da força, resta calcular o módulo.

Passo 2

Agora vamos considerar um pedaço bem pequeno do anel. Por exemplo, qual é a distância entre o centro da partícula e a ponta da seta que indica o raio R na figura?

Pelo teorema de Pitágoras:

d 2 = R 2 + x 2 ⇒ d = R 2 + x 2

E vamos supor que a massa desse “pedacinho” do anel seja d M , e entre ele e a partícula esteja um pedacinho d U da energia potencial:

d U =   - G d M m r = - G d M m R 2 + x 2

Como a distância entre qualquer ponto do anel e a partícula é o mesmo, todas as grandezas na fórmula acima são constantes, então a energia potencial total é:

U =   - G M m R 2 + x 2

Obs.: Outra forma de ver isso é integrar ambos os lados da equação. A integral de d U será U e a integral de d M será M , já que todos os outros parâmetros são constantes.

Passo 3

Agora vamos lembrar de outra fórmula importante. Quando estamos em um único eixo:

F =   - d U d x = - d d x - G M m R 2 + x 2

Derivando:

F = G M m d d x 1 R 2 + x 2 = - 1 2 G M m 2 x R 2 + x 2 3 2  

Como só estamos interessados no módulo da força:

F = G M m x R 2 + x 2 3 2   = G M m x R 2 + x 2 - 3 2

Pronto, essa é a resposta da letra (a).

Passo 4

Se a partícula de massa m é liberada a partir do repouso, queremos saber com que velocidade ela chega ao centro do anel.

Como a força sobre esse massa depende da distância x , vamos ter que a aceleração não é constante, assim vamos ter que fazer essa questão por conservação de energia mecânica!

A energia mecânica inicial será

E i = U i + K i = - G M m R 2 + x 2 + 0 = - G M m R 2 + x 2

Lembrando que ela foi liberada do repouso, então a energia cinética K i é nula.

Ao passar pelo centro do anel a energia mecânica será

E f = U f + K f = - G M m R 2 + 0 + 1 2 m v 2 = - G M m R + 1 2 m v 2

Atenção, que no centro do anel a energia potencial não é nula, hein!

Passo 5

Fazendo a conservação de energia mecânica

E i = E f

- G M m R 2 + x 2 = - G M m R + 1 2 m v 2 → v 2 = 2 G M 1 R - 1 R 2 + x 2

v = 2 G M 1 R - 1 R 2 + x 2

Resposta

(a) F =   G M m x R 2 + x 2 - 3 2

(b) v = 2 G M 1 R - 1 R 2 + x 2

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