Enunciado

56 . Duas esferas idênticas, de massa m e raio r , são soltas a partir do repouso no espaço vazio com seus centros separados pela distância R . Elas podem a colidir sob a influência de sua atração gravitacional. ( a ) Mostre que o módulo do impulso recebido por cada esfera antes de fazerem contato é dada por G m 3 1 2 r – 1 R 1 2 . ( b ) E se? Encontre o módulo do impulso que cada uma recebe durante seu contato se elas colidirem elasticamente.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa juntos!

Para mostra que o que é pedido em ( a ) vamos mexer apenas uma das esferas já que o mesmo ocorre para outra, pois elas são idênticas e a força de tração gravitacional que uma faz na outra é a mesma.

Vamos analisar o período começando com o instante que elas são soltas até imediatamente antes dela colidirem.

Para essa análise vamos usar a conservação de energia e o teorema do impulso momento dada por:

I = p f - p i

No nosso caso o p i da esfera é zero já que ele parte do repouso.

Passo 2

Vamos para a conservação de energia, inicialmente só temos a energia potencial de atração entre as esferas e no final temos energia cinética e a energia potencial, assim:

- G m m R = 1 2 m v 2 - G m m 2 r

⇒ 1 2 m v 2 = G m 2 1 2 r - 1 R

Multiplicando os dois lados por m , temos:

1 2 m 2 v 2 = G m 3 1 2 r - 1 R

Do teremos do impulso momento temos que:

I = p f = m v

⇒ I 2 = m 2 v 2

Substituindo isso na expressão que chegamos da conservação de energia, temos:

1 2 I 2 = G m 3 1 2 r - 1 R

⇒ I = 2 G m 3 1 2 r - 1 R 1 / 2

Como podemos ver tem um erro no enunciado, está faltando um fator 2 .

Passo 3

No item ( b ) ele quer o impulso que cada uma sofreu durante a colisão, mas ele diz que elas sofrem uma colisão elástica, logo temos conservação de momento, então o momento de cada esfera antes da colisão tem que ser igual ao momento depois da colisão, então:

I = p f - p i = 0

Prontinho, questão terminada!

Resposta

( a )

Demonstrado acima.

( b )

Demonstrado acima.

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