Enunciado

A velocidade angular de um volante obedece à equação ω z t = A + B t 2 , onde t está em segundos e A e B são constantes, com valores numéricos de 2,75   ( p a r a   A ) e 1,5   ( p a r a   B ) .

a) Quais são as unidades de A e B , se ω está em r a d / s ?

b) Calcule a aceleração angular do volante para

i) t = 0 s e

ii) t = 5 s .

c) Qual é o ângulo em que o volante gira durante os primeiros 2 s ? (Sugestão: veja a seção 2.6 .)

Passo 1

Fala, galerinha! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar (a) as unidades de A e B na equação ω z t = A + B t 2 , sabendo que ω está em r a d / s . Além disso, precisamos calcular (b) a aceleração angular do volante para t = 0   s e t = 5   s e (c) o ângulo em que o volante gira nos primeiros 2   s .

Então, vamos fazer uma analise das unidades da nossa equação e usar a derivada da velocidade angular para determinar a aceleração nos pontos pedidos. Depois, vamos obter o ângulo de rotação do volante através da integral:

θ = ∫ t 1 t 2 ω d t

Vamos lá!

Passo 2

Vamos ver as unidades dessa velocidade angular:

[ ω z ] = A + B t 2

A unidade de ω z é r a d / s e a unidade de tempo é segundo s , então temos:

r a d s = r a d s + B s 2

Daqui temos que A deve ter unidade r a d / s , mas e B ? Bom, ele tem multiplicado a ele um s 2 , então para que o resultado dessa multiplicação dê r a d / s a unidade de B deve ser r a d / s 3 , pois saca só no resultado da multiplicação dessa unidade com s 2 :

r a d s 3 ∙ s 2 = r a d s

E é essa unidade que queremos no final!

Assim temos:

r a d s = r a d s + r a d s 3 s 2

Portanto, a unidade de A é r a d / s e de B é r a d / s 3 .

Passo 3

(b) Sabemos que a aceleração é a derivada temporal da velocidade. Como temos uma expressão para a velocidade em função do tempo, é só derivar e encontramos a aceleração, saca só:

α z = d ω d t

Substituindo a expressão de ω :

α z = d d t 2,75 + 1,5 t 2

E derivando, temos:

a z = 2 ⋅ 1,5 ⋅ t

a z = 3 t

Então a aceleração em função do tempo é α z t = 3 t . E em t = 0 a aceleração é:

α z 0 = 3 ∙ 0

α z 0 = 0

E em t = 5 a aceleração será:

α z 5 = 3 ∙ 5

α z 5 = 15 r a d / s 2

Passo 4

(c) Da mesma forma que podemos determinar a aceleração a partir da equação para a velocidade (por meio da derivada). Podemos também encontrar uma relação para a posição angular, mas agora por meio da integral! Integrando a velocidade teremos a posição em função do tempo!

Pegando a velocidade ω em função do tempo t ( ω = 2,75 + 1,5 t 2 ) e integrando desde o tempo inicial t = 0 até o tempo final t = 2 vamos ter quanto o volante andou em relação ao ângulo!

Saca só:

θ = ∫ t 1 t 2 ω d t

Substituindo a expressão da velocidade:

θ = ∫ 0 2 ( 2,75 + 1,5 t 2 ) d t

E integrando:

θ = 2,75 t + 1,5 t 3 3 0 2

Aplicando os limites de integração, obtemos:

θ = 2,75 ⋅ 2 + 1,5 2 3 3 - 2,75 ⋅ 0 + 1,5 0 3 3  

θ = 9,5 r a d  

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a )   A unidade de A é r a d / s e de B é r a d / s 3

b ) Em t = 0 a aceleração é α z 0 = 3.0 = 0 e em t = 5 é α z 5 = 3.5 = 15   r a d / s 2

c )   θ = 9,5   r a d

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