Enunciado

Para t = 0 a corrente de um motor elétrico de corrente contínua ( d c ) é invertida, produzindo um deslocamento angular do eixo do motor dado por θ t = 250 t - 20 t 2 - 1,5 t 3 .

a) Em que instante a velocidade angular do eixo do motor se anula?

b) Calcule a aceleração angular no instante em que a velocidade angular do eixo do motor é igual a zero.

c) Quantas revoluções foram feitas pelo eixo do motor desde o instante em que a corrente foi invertida até o momento em que a velocidade angular se anulou?

d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor para t = 0 , quando a corrente foi invertida? e) Calcule a velocidade angular média no intervalo de tempo desde t = 0 até o instante calculado no item (a).

Passo 1

Fala, galerinha! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar (a) quando a velocidade angular do eixo do motor se anula, (b) a aceleração angular no instante em que a velocidade é zero, (c) a quantidade de revoluções feitas pelo eixo do motor, (d) a velocidade angular para t = 0 e (e) a velocidade angular de t = 0 até ω t = 0 .

Pra isso, nós temos o deslocamento angular do motor, θ t = 250 t - 20 t 2 - 1,5 t 3 , e basta derivar essa expressão para obtermos a velocidade angular. Depois, vamos avaliar cada caso, substituindo os valores de t ou de ω necessários.

Vamos lá!

Passo 2

Primeiro devemos calcular a velocidade, para depois determinar em que instante de tempo ela é zero. Lembrando de que a velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo, como temos θ ( t ) basta derivar:

ω t = d θ t d t

ω t = d d t 250 t - 20 t 2 - 1,5 t 3

ω t = 250 - 40 t - 4,5 t 2

E onde ela é zero é onde ω t = 0 :

- 4,5 t 2 - 40 t + 250 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para determinar as raízes dessa equação, temos:

t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

t = - - 40 ± - 40 2 - 4 ∙ ( - 4,5 ) ∙ 250 2 ∙ ( - 4,5 )

Jogando tudo isso na calculadora, a única raiz positiva é em t = 4,23   s

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade, certo? Então, como no item anterior calculamos a velocidade, basta derivar novamente para descobrir a aceleração! Bora lá?

α t = d ω t d t

α t = d d t 250 - 40 t - 4,5 t 2

α t = - 40 - 9 t

E como sabemos que no instante t = 4,23   s a velocidade é zero, a aceleração nesse instante vai ser:

α 4,23 = - 40 - 9 . 4,23

α 4,23 = - 78,1 r a d / s 2

Passo 4

As revoluções vão ser dadas a partir da posição angular em t = 4,23 , certo? Então a partir da equação para a posição angular temos:

θ 4,23 = 250 ( 4,23 ) - 20 ( 4,23 ) 2 - 1,5 ( 4,23 ) 3

Jogando tudo isso na calculadora vamos achar:

θ 4,23 = 586   r a d

Agora lembrando que 1 revolução equivale a 2 π   r a d , podemos fazer uma regra de três e encontrar o número de revoluções:

1   r e v - - - - 2 π r a d

x   r e v - - - - - 586   r a d

x = 586 2 π

x = 93,26   r e v o l u ç õ e s

Passo 5

Em t = 0 a velocidade angular vai ser ω ( 0 ) . Como já determinamos nos itens anteriores a expressão para a velocidade angular, fica tranquilo de achar ela no instante inicial. Saca só:

ω 0 = 250 - 40 ∙ 0 - 4,5 ∙ 0 2

ω 0 = 250 r a d / s

Passo 6

A velocidade angular média é calculada sobre a média das posições nos instantes t = 0 e t = 4,23 e dividido por Δ t = 4,23 . Usando a equação para θ ( t ) que foi dada no enunciado vamos ter:

ω m é d i o = Δ θ Δ t

ω m é d i o = θ 4,23 - θ 0 4,23 - 0

ω m é d i o = 250 ∙ 4,23 - 20 ( 4,23 ) 2 - 1,5 ( 4,23 ) 3 -   0 4,23

E obtemos:

ω m é d i o = 586 4,23

ω m é d i o = 138   r a d / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a ) t = 4,23 s

b )   α 4,23 = - 78,1 r a d / s 2

c )   x = 93,26   r e v o l u ç õ e s

d )   ω 0 = 250 r a d / s

e ) ω m é d i o = 138   r a d / s

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