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A velocidade de escape do Planeta X é de 10.000 m/s. O Planeta Y tem o mesmo raio do Planeta X, mas é duas vezes mais denso. Qual é a velocidade de escape do Planeta Y?

Passo 1

Nessa questão devemos entender dois conceitos:

  • O que é a velocidade de escape;
  • A conservação da energia mecânica.

A velocidade de escape do campo gravitacional é a mínima velocidade necessária para que um corpo consiga se “livrar” do campo gravitacional de um planeta, chegando até o “infinito” com uma velocidade nula. Aqui, a palavra infinita quer dizer simplesmente uma distância muito grande entre o corpo e o planeta; essa distância é tal que podemos desprezar a interação gravitacional entre eles.

Quando fazemos o “lançamento” desse corpo, a energia mecânica irá se conservar! Isso ocorre, pois a força gravitacional é uma força conservativa. Sendo assim, podemos escrever que:

U i + K i = U f + K f

onde U e K indicam, respectivamente, a energia potencial e a energia cinética do corpo a ser lançado; os índices i e f indicam, respectivamente, o estado inicial e o estado final. Como dito acima, o estado final é o “infinito”, no qual U f = K f = 0 . Logo,

U i + K i = 0

A equação U i + K i = 0 (embora aparentemente muito simples) vai nos dar a velocidade de escape do corpo!

Outra coisinha que devemos nos lembrar é o seguinte: o potencial gravitacional entre o planeta de massa M e o corpo de massa m é dado por:

U = - G m M d

onde d é a distância entre o centro do planeta e o corpo.

Passo 2

Vamos aplicar o que foi discutido no passo 1. Temos que:

U i = - G m M R K i = 1 2 m v 0 2

Logo,

U i + K i = 0 - G m M R + 1 2 m v 0 2 = 0 1 2 m v 0 2 = G m M R v 0 = 2 G M R

Passo 3

No nosso problema, foi falado sobre a densidade, mas nada sobre a massa. Porém, podemos nos lembrar que:

ρ = M V

onde ρ é a densidade, M é a massa e V o volume da esfera, dado por 4 3 π R 3 . Logo,

ρ = M 4 3 π R 3 ⟹ M = 4 3 ρ π R 3

Portanto, a equação da velocidade de escape poderá ser escrita como:

v 0 = 8 G ρ π R 3 3 R = 8 G π 3 ρ R 2 v 0 = k ⋅ R ρ

onde k = 8 G π / 3 é uma constante! A escrevemos dessa maneira para facilitar nossas contas a seguir.

Passo 4

Para o planeta X , temos que v 0 = 10.000   m / s . Logo, temos que

k R ρ = 10.000

Para o planeta Y , temos que ρ ' = 2 ρ e R ' = R . Logo,

v Y = k ⋅ R ' ρ ' v Y = k ⋅ R 2 ρ v Y = k ⋅ R ρ ⋅ 2 v Y = 10.000 2 v Y = 1,41 × 10 4   m / s

Resposta

A velocidade de escape do planeta Y é 1,41 × 10 4   m / s .

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