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O visitante misterioso que aparece na encantadora história O Pequeno Príncipe teria vindo de um planeta que era “pouco maior do que uma casa!”. Suponha que a massa específica do planeta seja aproximadamente igual à da Terra e que a rotação seja desprezível. Determine os valores aproximados (a) da aceleração de queda livre na superfície do planeta e (b) da velocidade de escape do planeta.

Passo 1

A letra (a) quer saber a “aceleração de queda livre” na superfície do planeta, isso é o mesmo que pedir a “aceleração da gravidade” na superfície. Para isso, ele nos disse que a massa específica, que podemos chamar de ρ , é igual à da Terra:

ρ = M V = M T V T

Além disso, sabemos que a aceleração da gravidade é:

g = G M r 2

Ou seja, precisamos descobrir a massa e o raio do planeta para obtermos a resposta.

Passo 2

Supondo que o planeta seja esférico, vamos consultar a massa e o raio da Terra em uma tabela e usar o fato de que o volume da esfera é 4 3 π r 3 para obter:

ρ = M 4 3 π r 3 = 5,98.10 24 4 3 π 6,4.10 6 3

Ou seja:

M = r 3 5,98.10 24 6,4.10 6 3

O enunciado nos diz que o planeta era “pouco maior que uma casa”, então vamos aproximar seu raio como sendo r = 10   m , substituindo na equação:

M = 10 3 5,98.10 24 6,4.10 6 3 = 2,3.10 7   k g

Beleza, agora podemos usar essa massa pra calcular a aceleração da gravidade na superfície do planeta.

Passo 3

Usando a fórmula que já mencionamos:

g = G M r 2 = 6,67.10 - 11 2,3.10 7 10 2 = 1,5   .   10 - 5   m / s 2

Pronto, essa é a resposta da letra (a).

Passo 4

A letra (b) quer a velocidade de escape do planeta. Essa é uma fórmula que já conhecemos:

v e s c = 2 G M r

Substituindo os valores:

v e s c = 2 ( 6,67.10 - 11 ) ( 2,3.10 7 ) 10 = 0,017 = 2,0.10 - 2   m / s

Resposta

(a) g =   1,5   .   10 - 5   m / s 2

(b) v e s c = 2,0.10 - 2   m / s

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