Enunciado

Verdadeiro ou falso (ignore os efeitos da resistência do ar):

(a) Quando um projétil é disparado horizontalmente, ele leva o mesmo tempo para atingir o chão que um projétil solto a partir do repouso na mesma altura.

(b) Quando um projétil é disparado de certa altura com um ângulo voltado para cima, ele leva mais tempo para atingir o chão do que um projétil solto a partir do repouso na mesma altura.

(c) Quando um projétil é disparado horizontalmente a partir de certa altura, ele tem uma rapidez maior ao atingir o chão do que um projétil solto a partir do repouso na mesma altura.

Passo 1

(a) Então, vamos entender as duas situações que ele descreve. Primeiro, a gente tem um projetil disparado horizontalmente de uma altura Δ y . Ou seja, ele só tem velocidade horizontal v 0 x e a velocidade vertical inicial dele é nula v 0 y = 0 .

Na segunda situação, a gente tem um projetil que é solto de uma mesma altura Δ y . Ele é solto, então velocidade vertical e horizontal iniciais são nulas v 0 x = v 0 y = 0 .

Aí o que ele quer saber é se o tempo de queda desses dois projeteis é igual. O importante aqui é lembrar que para deslocamento de projeteis, os movimentos vertical e horizontal são totalmente independentes. E o tempo de queda depende apenas do movimento vertical.

O deslocamento vertical de um projetil é dado pela expressão:

Δ y = v 0 y t + a y 2 t 2

Se a gente soubesse o valor de todas as variáveis, exceto t , a gente conseguiria achar t resolvendo uma equação do segundo grau. Aí por essa expressão, percebemos uma coisa:

O tempo que o projétil leva para atingir o chão depende apenas de três coisas: a altura da queda Δ y , a velocidade inicial na direção vertical v 0 y , e a aceleração vertical (gravidade) a y = g .

Quando comparamos um disparo horizontal com uma queda livre a partir do repouso de uma mesma altura Δ y , todos esses três fatores são iguais: v 0 y = 0 , e Δ y é o mesmo e a gravidade também, e por isso o tempo de queda é o mesmo.

A afirmação é verdadeira.

Passo 2

(b) Temos duas situações aqui também. Primeiro, a gente tem um projetil disparado de uma altura Δ y com um ângulo acima em relação a horizontal. Ou seja, ele tem velocidade inicial v 0 que faz um ângulo θ com a horizontal, de modo que há v 0 x e v 0 y não são nulas, e valem

v 0 x = v 0 cos ⁡ θ

v 0 y = v 0   s e n   θ

E na segunda situação, a gente tem um projetil que é solto de uma mesma altura Δ y . Ele é solto, então velocidade vertical e horizontal iniciais são nulas v 0 x = v 0 y = 0 .

Aí o que ele quer saber é se o tempo de queda do projetil da primeira situação é maior do que o da segunda. Lembrando que o tempo de queda depende apenas do movimento vertical.

E lembrando que o deslocamento vertical de um projetil é dado pela expressão:

Δ y = v 0 y t + a y 2 t 2

Diferentemente do caso anterior, aqui essas duas situações não são totalmente iguais verticalmente. Agora uma tem v 0 nulo e a outra não.

Agora temos uma situação onde a velocidade inicial tem uma componente na direção vertical. Isso quer dizer que a aceleração da gravidade terá que “frear” essa componente da velocidade antes que o objeto comece a se mover em direção ao chão.

Portanto esse projétil deverá demorar mais para atingir o chão, porque ele vai subir um pouco antes de começar a descer, e a afirmação é verdadeira.

Passo 3

(c) Aqui temos duas situações exatamente iguais ao item (a). Mas a afirmação é que a rapidez do projetil ao atingir o solo é maior na situação onde há velocidade horizontal inicial.

Será? Vamos refletir. A rapidez é o módulo da velocidade do objeto ao chegar no chão. Que por sua vez é a soma vetorial das velocidades vertical v y e horizontal v x .

Os movimentos vertical e horizontal são independentes, então a gente precisa avaliar v x e v y para cada parte do movimento.

A expressão de v y é:

v y = v 0 y + a y t

A gente viu no item (a) que os dois movimentos têm as mesmas características verticais v 0 y e a y , e têm o mesmo tempo de queda t . Então a velocidade vertical do objeto ao atingir o solo é a mesma nos dois casos.

Agora vamos olhar v x :

v x = v o x + a x t

Como a aceleração é totalmente vertical (gravidade), a aceleração horizontal não existe, ela é nula. Então a velocidade horizontal inicial fica intocada, e vai se manter constante até atingir o chão.

De modo que, o projétil disparado horizontalmente vai ter então uma velocidade horizontal final que vale v 0 x .

Portanto, o módulo da velocidade total desse projétil deve ser maior do que o de um projeto solto da mesma altura, porque além da velocidade vertical fornecida pela gravidade, ele terá a componente horizontal vinda da velocidade inicial.

Logo, a soma vetorial do caso com v 0 x ≠ 0 vai ser maior, e assim, a rapidez final é maior também. Assim, essa é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeiro; (b) Verdadeiro; (c) Verdadeiro.

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