Enunciado

Uma competição de atletismo é realizado em um planeta de um sistema solar distante. Um arremessador de peso lança o peso de um ponto 2,0   m acima do nível do solo. Um gráfico estroboscópico da posição do peso aparece na figura, onde as leituras foram tomadas a cada 0,50   s e o peso foi arremessado no instante t = 0 . (a) Qual é a velocidade inicial do peso, em termos dos vetores unitários? (b) Qual é o módulo da aceleração em queda livre no planeta? (c) Quanto tempo após ter sido arremessado o peso toca o solo? (d) Se um arremesso de peso for feito na Terra nas mesmas condições, quanto tempo após o lançamento o peso tocará o solo?

Passo 1

(a) Nosso primeiro objetivo é encontrar o módulo da velocidade inicial da bola. Uma forma de fazer isso é encontrar cada uma das componentes iniciais v x e v y e então fazer:

v 0 = v x 2 + v y 2

Essas velocidades aparecem nas fórmulas para as coordenadas x e y da bola:

x = x 0 + v x t

y = y 0 + v y t - 1 2 g P t 2

Passo 2

(a) Para encontrar os valores de v x e v y vamos usar o sexto ponto do gráfico, que tem coordenadas ( 25   m   ,   2   m ) e corresponde ao instante t = 5 0,50 = 2,50   s .

Começando por v x :

25 = v x 2,50

v x = 10   m / s

E agora v y . Perceba que nesse quinto ponto y - y 0 = 0 :

y = y 0 + v y t - 1 2 g P t 2

0 = v y 2,50 - 1 2 g P 2,50 2

v y = 1,25   g P

Como não sabemos a aceleração da gravidade no planeta, precisamos de mais um ponto para encontrar v y . Por exemplo, quanto t = 2 , y = 6   m :

6 = 2 + 2 v y - 1 2 g P 2 2

v y = g P + 2

Substituindo o primeiro resultado nesse, ficamos com:

v y = v y 1,25 + 2

v y = 10 , 0   m / s

Então o vetor velocidade inicial é:

v → 0 = 10   i ^ + 10   j ^   m / s

Passo 3

(b) E agora podemos calcular também o módulo da acelerção g P nesse planeta:

v y = g P + 2

10 = g P + 2

g P = 8   m / s 2

Passo 4

(c) Quando o peso toca o solo, temos y = 0 . Então vamos escrever a função que dá y em função do tempo:

y = y 0 + v y t - 1 2 g P t 2

0 = 2 + 10 t - 1 2 8 t 2

- 4 t 2 + 10 t + 2 = 0

E podemos resolver essa equação do segundo grau:

t = - 10 ± 10 2 - ( 4 ) ( - 4 ) ( 2 ) 2 - 4 = - 10 ± 11,5 - 8

E como só a raiz positiva tem significado nesse caso:

t = 2,7   s

Passo 5

(d) Agora queremos fazer a mesma conta que acabamos de fazer, mas usando a aceleração da gravidade na superfície da Terra:

g = 9,8   m / s 2

Então:

y = y 0 + v y t - 1 2 g t 2

0 = 2 + 10 t - 1 2 9,8 t 2

- 4 , 9 t 2 + 10 t + 2 = 0

E podemos resolver essa equação do segundo grau:

t = - 10 ± 10 2 - ( 4 ) ( - 4 , 9 ) ( 2 ) 2 - 4 , 9 = - 10 ± 11,8 - 9,8

E como só a raiz positiva tem significado nesse caso:

t = 2 , 2   s

Resposta

(a) v → 0 = 10   i ^ + 10   j ^ m / s .

(b) g p = 8   m / s 2 .

(c) t = 2,7   s .

(d) t = 2,2   s .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O Coiote (Carnivorus famelicus) está perseguindo o Papa-léguas (Ligeiribus ariscus). Na corrida, eles chegam a um profundo desfiladeiro, com 15,0 m de largura e 100 m de profundidade. Papa-léguas se l
Uma pedra, atirada horizontalmente do alto de uma torre de 24 m de altura, atinge o chão em um ponto que dista 18 m da base da torre. (a) Encontre a rapidez com que a pedra foi atirada. (b) Encontre a
Um projétil é disparado do topo de uma colina de 200 m de altura, sobre um vale (Figura 3-36). Sua velocidade inicial é de 60 m/s, a 60° acima da horizontal. Onde o projeto cai? (Ignore a resistência
O alcance de uma bala de canhão disparada horizontalmente de um morro é igual à altura do morro. Qual é a orientação do vetor velocidade do projétil ao atingir o chão? (Ignore a resistência do ar.)
Um peixe-arqueiro lança um gota d’água da superfície de um pequeno lago, a um ângulo de 60° acima da horizontal. Seu alvo é uma apetitosa aranha sentada em uma folha distante 50 cm, para o leste, em u