Enunciado

O vetor A → , pararelo ao eixo x , deve ser somado ao vetor B → , que tem um módulo de 7,0   m . A soma é um vetor paralelo ao eixo y , com um módulo três vezes maior que o de A → . Qual é o módulo de A → ?

Passo 1

Belezoca de motoca pessoal, pra gente resolver esse tipo de problema, precisamos lembrar de algumas coisinhas, primeiro que para somar dois vetores podemos obter as componentes escalares e, em seguida, combiná-las, eixo por eixo.

Mas calma lá chefe, porque isso quer dizer que se a gente tiver dois vetores do tipo a → = a x i ^ + a y j ^ e b → = b x i ^ + b y j ^ (notação de vetores unitários) podemos escrever o vetor resultante da soma de maneira que:

r → = a → + b →

r → = a x + b x i ^ + a y + b y j ^

Além disso, devemos nos lembrar que o módulo de um vetor r → = r x i ^ + r y j ^ é dado por:

‖ r ‖ = r x 2 + r y 2

Passo 2

Iradoso, mas isso é importante porque neste problema sabemos que o vetor A → tem componente y nula (afinal ele é paralelo ao eixo x ), sabemos também que o módulo do vetor B → é 7,0   m , que a soma vetorial de A → com B → tem componente x nula e que o módulo do vetor resultante é três vezes maior que o de A → . Com esses dados determinaremos o módulo de A → .

Inicialmente, para facilitar nossa interpretação, escreveremos os vetores em função de suas respectivas componentes:

A → = A x i ^ + A y j ^

B → = B x i ^ + B y j ^

Onde teremos o vetor soma C → = A → + B → escrito como:

C → = C x i ^ + C y j ^

C x i ^ + C y j ^ = A x i ^ + A y j ^ + B x i ^ + B y j ^

C x i ^ + C y j ^ = A x + B x i ^ + A y + B y j ^

Como esse problema é meio literal, vamos separar a soma eixo por eixo, beleza? Bora lá!!

Passo 3

Sabemos que o vetor resultante C → é paralelo ao eixo y , isso quer dizer que a componente x desse vetor é nula, afinal se ela possuísse qualquer valor diferente de 0 , o vetor não seria mais paralelo ao eixo y . Dito isso, teremos que:

C x = 0

A x + B x = 0

Então:

A x = - B x

Agora cola aqui meu preparado, faremos de maneira análoga ao passo anterior, combinando apenas as componentes escalares do eixo y , temos que o componente resultante do vetor soma, será:

C y = A y + B y

Como o vetor A → é paralelo ao eixo x , temos que sua compenente y é nula, tal que A y = 0 e a equação acima se torna:

C y = 0 + B y

C y = B y

Passo 4

Agora a próxima malandragem é a gente usar a equação do módulo para reduzir o número de incógnitas. Primeiro, o enunciado diz que o módulo de B → é 7,0   m , então:

7 2 = B x 2 + B y 2

Colocando uma das variáveis em evidência:

B y = 49 - B x 2

E como vimos que A x = - B x , obtemos:

B y = 49 - - A x 2

B y = 49 - A x 2

Sabemos também que o módulo do vetor C → é três vezes maior que o módulo do vetor A → :

C → = C x 2 + C y 2 ,     A → = A x 2 + A y 2

C = 3 A

C x 2 + C y 2 = 3 A x 2 + A y 2

Sabendo que A y = 0 e que C x = 0 , encontramos:

0 + C y 2 = 3 A x 2 + 0

C y 2 = 3 A x 2

Logo:

C y = 3 A x

Passo 5

Mas se liga só, a gente viu que C y = B y e além disso, também vimos que B y = 49 - A x 2 , então de acordo com a última equação que vimos no Passo 4, temos que:

C y = 3 A x

49 - A x 2 = 3 A x

E agora é só a gente resolver esse probleminha:

Elevando os dois lados ao quadrado:

49 - A x 2 = 9 A x 2

49 = 10 A x 2

Logo:

A x 2 = 49 10 = 4,9

A x = 4,9

A x = 2,21

Então o módulo de A vai ser dado por:

A → = A x 2 + A y 2

A → = 4,9 + 0

A → = 4,9

Tal que:

A → = 2,21

Resposta

A → = 2,21

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