Enunciado

Os vetores A → e B → estão no plano x y , A → tem módulo 8,00 e ângulo 130 ° . B → tem componentes B x = - 7,72 e B y = - 9,20 . Determine o snauglo entre o semi eixo y negativo e (a) o vetor A → . (b) o vetor A → × B → e (c) o vetor A → × ( B → + 3,00 k ^ ) .

Passo 1

Belezera galerinha, como o enunciado nos deu o módulo do vetor A → e o ângulo que ele faz com o semi-eixo positivo x , podemos encontrar suas componentes, tais que:

A x = 8,00 cos ⁡ 130 °

A x = - 5,14

E no eixo y :

A y = 8,00 sen ⁡ 130 °

A y = 6,13

Logo, podemos escrever o vetor A → em termos dos vetores unitários:

A → = - 5,14 i ^ + 6,13 j ^

Portanto, os dois vetores A → e B → que iremos trabalhar, são:

A → = - 5,14 i ^ + 6,13 j ^ ,     B → = - 7,72 i ^ - 9,20 j ^

Passo 2

Como o enunciado nos deu que o vetor A → faz um ângulo de 130 ° com o semi-eixo positivo x :

O ângulo que o vetor faz com o semi eixo negativo y é dado de acordo com a figura por θ , logo:

θ = 270 ° - 130 °

θ = 140 °

Iradoso, agora para o B → temos que o ângulo que ele faz com o semi-eixo negativo y é dado como:

ϕ = arctan ⁡ B x B y

Tal que:

ϕ = arctan ⁡ - 7,72 - 9,20

ϕ = 40 °

Passo 3

Agora na letra (b), teremos que o produto vetorial entre A → e B → será:

A → × B → = i ^ j ^ k ^ - 5,14 6,13 0 - 7,72 - 9,20 0

A → × B → = 94,6 k ^

Ou seja, o vetor resuntante do produto vetorial, possui componente somente em k ^ , no eixo z , fora do plano x y . Isso quer dizer que esse vetor resultante é perpendicular aos vetores A → e B → , de modo que o ângulo que esse vetor faz com o semi eixo negativo y é 90 ° .

Passo 4

Belezoca, agora no item (c), queremos o ângulo que o vetor A → × ( B → + 3,00 k ^ ) faz com o semi-eixo negativo y , então primeiro vamos calcular esse produto vetorial, tal que:

A → × B → + 3,00 k ^ = i ^ j ^ k ^ - 5,14 6,13 0 - 7,72 - 9,20 3,00

A → × B → + 3,00 k ^ = 18,4 i ^ + 15,4 j ^ + 94,6 k ^

E agora pra gente calcular o ângulo que esse vetor faz com o semi-eixo negativo y , vamos precisa lembrar da relação do ângulo entre dois vetores a → e b → , dada como:

cos ⁡ θ = a → ⋅ b → a b

O vetor a → é o vetor que encontramos:

a → = 18,4 i ^ + 15,4 j ^ + 94,6 k ^

a = 97,6

Enquanto que o vetor b → será o semi-eixo negativo y :

b → = 0 i ^ - j ^ + 0 k ^

b = 1

Logo:

cos ⁡ θ = 18,4 i ^ + 15,4 j ^ + 94,6 k ^ ⋅ 0 i ^ - j ^ + 0 k ^ 97,6 1

cos ⁡ θ = - 15,4 97,6

cos ⁡ θ = - 0,1578

Portanto, o ângulo θ que o vetor faz com o semi-eixo negativo y será dado como:

θ = arccos ⁡ - 0,1578

θ = 99,1 °

Resposta

  1. 140 °
  2. 90 °
  3. 99,1 °
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Três vetores são dados por a →=3,0 i ^+3,0 j ^ - 2,0 k ^ , b → = - 1,0 i ^- 4,0 j ^+ 2,0 k ^ e c → =2,0 i ^+ 2,0 j ^ +1,0 k ^ . Determine (a) a → ⋅( b → ×c → ) , (b) a → ⋅ ( b →+ c → ) e c a → ×( b →+
O vetor tem módulo de 12,0 m, e o vetor tem módulo de 16,0 m. O produto escalar é 112,0 m2 . Qual é o módulo do produto vetorial entre esses dois vetores?
Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por ( ) . (a) Quaisquer que sejam os vetores , e , prove que ( ) = ( ) . (b) Calcule ( ) para os três vetores seguintes:
Um vetor a → de módulo 10 unidades e outro vetorb → de módulo 6,0 unidades fazem um ângulo de 60 ° . Determine (a) o produto escalar dos dois vetores e (b) o módulo do produto vetorial a → ×b →