Enunciado

Uma vidraça tem exatamente 20   c m por 30   c m a 10 ° C . De quanto aumenta a área da vidraça quando a temperatura aumenta para 40 ° C , supondo que pode se expandir livremente?

Passo 1

Qual era a área da vidraça antes de ela ser aquecida? É só usar a fórmula da área de um retângulo, lembrando de converter os centímetros para metros.

A = 0,20 0,30 = 0,06

Beleza, agora vamos lembrar das fórmulas para a dilatação:

Δ L = L 0 α Δ T

Vamos chamar os lados do retângulo de L 1 e L 2 , beleza? Como vai ficar a fórmula da área depois da dilatação?

A ' = ( 0,20 + Δ L 1 ) ( 0,30 + Δ L 2 )

A ' = 0,20 0,30 + 0,20 . Δ L 2 + 0,30 Δ L 1 + Δ L 1 Δ L 2

E agora vamos fazer uma aproximação que é muito importante na parte de dilatação! Como essas variações de comprimento quase sempre são muito pequenas, a gente vai descartar os termos em que elas se multiplicam.

Podemos fazer isso porque uma coisa muito pequena multiplicada por outra muito pequena dá um valor insignificante. Então tá, só aquele último parênteses vai sumir:

A ' = 0,20 0,30 + 0,20 . Δ L 2 + 0,30 Δ L 1

A ' = 0,6 + 0,2 Δ L 2 + 0,3 Δ L 1

E o aumento da área (que é o objetivo da questão) vai ser simplesmente a diferença entre A ' e A :

A ' - A = Δ A

Δ A = 0 , 0 6 + 0,2 Δ L 2 + 0,3 Δ L 1 - ( 0,06 )

Δ A = 0,2 Δ L 2 + 0,3 Δ L 1

Passo 2

Então tá, já temos a fórmula que vai calcular a variação da área. Só precisamos substituir as equações da dilatação no lugar do Δ L 1 e Δ L 2 :

Δ A = 0,2 Δ L 2 + 0,3 Δ L 1

Só tome cuidado com o seguinte: o L 1 é o lado de 0,20   m , e o L 2 é o de 0,30   m .

Δ A = 0,2 ( 0,30 α Δ T ) + 0,3 ( 0,20 α Δ T )

Δ A = 0,06 α Δ T + 0,06 α Δ T

Δ A = 0,12 α Δ T

Agora é só procurar os valores.

Passo 3

O coeficiente de dilatação linear do vidro, que a gente pode olhar em uma tabela, é o seguinte:

α = 9.10 - 6   ° C - 1

E a variação de temperatura já foi dada no enunciado:

Δ T = 40 - 10 = 30 ° C

Então:

Δ A = ( 0,12 ) ( 9.10 - 6 ) ( 30 )

Δ A ≅ 3,2   .   10 - 5   m 2

Ou, em centímetros quadrados:

Δ A ≅ 3,2   .   10 - 1   c m 2

Beleza, resolvido!

Resposta

A área aumenta em 3,2.10 - 1   c m 2 .

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