Enunciado

Você assite seu amigo jogando hóquei. Durante o jogo, ele atinge o disco de tal forma que, ao chegar no seu ponto mais alto, o disco passa de raspão por cima do muro de acrílico de 2,80 m de altura que cerca o campo, distante 12,0 m de jogador. Encontre (a) a componente vertical da velocidade inicial, (b) o tempo para atingir o muro e (c) a componente horizontal da velocidade inicial, a rapidez inicial e o ângulo de lançamento. (Ignore a resistência do ar.)

Passo 1

Oi galera, tudo bem? É muito importante tentar visualizar direitinho toda a situação apresentada no problema. Pra te ajudar, trouxe aqui um desenho que esquematiza tudo certinho.

O jogador bate no disco com uma velocidade v 0 inicial inclinada θ 0 em relação a horizontal. Por isso ela vai subir.

O disco atinge a altura máxima justamente quando passa de raspão no muro, por isso a altura do muro é a altura máxima da trajetória... guarda essa informação. Temos também que o muro está a uma distância de 12 m do jogador.

Agora vamos ver quais equações podemos usar pra resolver nosso problema. O movimento vertical e o movimento horizontal são independentes. Então a gente analisa cada um deles com equações diferentes.

O movimento da horizontal (em x) não possui aceleração, ou seja, ela é zero. Então o movimento é uniforme. Por isso para resolver o problema usaremos:

x t = x 0 + v 0 x ⋅ t

Onde v 0 x = v 0 ⋅ c o s θ 0

Na vertical, como a aceleração é a gravidade, o movimento é acelerado. Por isso podemos usar as equações:

  • y t = y 0 + v 0 y ⋅ t - 1 2 g ⋅ t 2
  • v y = v 0 y - g ⋅ t
  • v y 2 = v 0 y 2 - 2 ⋅ g ⋅ ∆ y

Onde v 0 y = v 0 ⋅ sin ⁡ θ 0 . E g tem o sinal de menos porque consideramos o y positivo para cima.

Vamos usar essas equações para resolver nosso problema, belezinha?

Passo 2

a) A questão nos pede a componente vertical da velocidade INICIAL v 0 y .

Uma informação bem importante é que a velocidade da componente vertical v y no momento mais alto da trajetória é sempre zero pois é o momento em que ela troca de sentido. Então temos que no ponto de maior altura

v y = 0

Já que não temos nenhuma informação sobre o tempo podemos usar a equação de torriceli pra descobrir essa velocidade. Vamos usar os dados do instante mais alto.

v y 2 = v 0 y 2 - 2 ⋅ g ⋅ ∆ y

  • v y = 0
  • g = 9,81   m / s 2
  • ∆ y = 2,80   m

v 0 y 2 = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 2,80

v 0 y = 7,41   m / s

Uma coisa para não confundir. Como estamos vendo a componente vertical da velocidade, usamos Δ y , o deslocamento máximo vertical do disco que é a altura do muro.

Passo 3

b) A questão também pede o tempo para atingir o muro.

Como já temos a velocidade inicial então é só substituir na equação da velocidade para achar o tempo.

v y = v 0 y - g ⋅ t

t = v y - v 0 y - g

t = 7,41 9,81 = 0,755   s

Passo 4

c) A questão também nos pediu para encontrarmos a componente horizontal da velocidade inicial, a rapidez inicial e o ângulo de lançamento.

Para isso podemos começar usando a equação do espaço horizontal para achar a velocidade horizontal inicial:

x t = x 0 + v 0 x ⋅ t

Por que? Porque agora temos o tempo que leva para o disco atingir altura máxima, que é o tempo achado no itm anterior. E sabemos que a posição x do disco na altura máxima é a distância dele do jogador, então é x = 12   m .

E a posição inicial no nosso referencial é zero mesmo. Substituindo nossos dados:

12 = 0 + v 0 x ⋅ 0,755

v 0 x = 12 - 0 0,755

v 0 x = 15,9   m / s

Passo 5

Sabendo os valores de v 0 y   e v 0 x , podemos fazer a razão entre eles para achar uma relação entre eles e θ 0 , que é o ângulo de lançamento:

v 0 y v 0 x = v 0 ⋅ sin ⁡ θ 0 v 0 ⋅ c o s ⁡ θ 0 = tan ⁡ θ 0

v 0 y v 0 x = tan ⁡ θ 0

Substituindo nossos dados e isolando θ 0 :

tan ⁡ θ 0 = 7,41 15,9 = 0,466

θ 0 = tan - 1 ⁡ 0,466

Resolvendo temos que θ 0 = 25 °

Com esses dados fica fácil de achar a rapidez inicial do movimento. A rapidez inicial do movimento é o módulo da velocidade inicial do movimento. Então tudo que a gente precisa fazer é achar o valor de v 0 . A gente viu lá no passo 1 que

v 0 x = v 0 cos ⁡ θ 0

Isolando quem a gente quer e substituindo o que temos:

v 0 = v 0 x cos ⁡ θ 0

v 0 = 15,9 cos ⁡ 25 °

v 0 = 1 7 , 54   m / s

Resposta

a )   v 0 y = 7,41   m / s

b )   t = 0,755   s

c )   v 0 x = 15,9   m / s v 0 = 1 7 , 54   m / s   θ 0 = 25 °

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