Enunciado

Generalize o resultado do problema anterior, mostrando que um projétil lançado do chão com uma velocidade inicial v 0   pode atingir um ponto situado à distância x e à altura y para dois ângulos de elevação diferentes, contanto que o ponto(x,y) esteja abaixo da “parábola de segurança”

y x = 1 2 A m - x 2 A m

Passo 1

Nessa questão a gente só tem que mostrar que existem 2 ângulos de lançamento para um mesmo ponto qualquer da trajetória. Já fizemos isso em outras questões com dados do problema, só precisamos formalizar um pouquinho de nada. Vamos começar com as equações básicas do movimento oblíquo.

x = v x t   y = v 0 y t - g 2 t 2  

t = x v x  

y x = v o y v 0 x x - g 2 x 2 v 0 x 2

y ( x ) = x . t g θ - g 2 ( x 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ )

Sabendo agora que 1 cos 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ = 1 + t g 2 θ

y x = x . t g θ - g x 2 2 v 0 2 . t g 2 θ - g x 2 2 v 0 2  

Assim, temos uma equação de segundo grau que nos fornece as seguinte raízes

t g θ = - x ± x 2 - g x 2 v 0 2 2 - g x 2 v 0 2

Se observarmos, o valor g v 0 2   aparace frequentemente e tem relação com nosso alcance máximo de lançamento, show? Fica assim : g v 0 2 = 1 A m

t g θ = - x ± x 2 - x 2 A m   2 - x 2 A m

Para que haja 2 alturas diferentes de lançamento nosso Δ precisa ser maior que 0. Então vamos analisar o caso extremo onde Δ = 0 .

t g θ =   - x - x 2 A m = A m x

y x = x . A m x - g x 2 2 v 0 2 . A m 2 x 2 - g x 2 2 v 0 2

y x = A m - g 2 v 0 2 . A m 2 - g x 2 2 v 0 2

y x = A m - A m 2 2 A m - x 2 2 A m

y x = A m 2 - x 2 2 A m

Isso significa que caso nosso lançamento represente pontos que estão nessa parábola, conseguiremos ter apenas 1 ângulo que consiga alcançar seus pontos. Caso contrário e os pontos do lançamento estejam abaixo desse, nós teremos 2 ângulos diferentes para cada ponto do espaço! Show, bora treinar mais?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Galileu mostrou que, se os efeitos da resistência do ar são ignorados, os alcances de projéteis (no mesmo nível) cujos ângulos de projeção diferem de 45°, para mais e para menos, do mesmo valor, são i
Se você pode atirar uma bola a uma distância horizontal máxima L, quando no nível do chão, a que distância você pode atirar a bola do alto de um edifício de altura h, se você a atira a (a) 0 ° , (b) 3
Dentro do carro, um motorista atira verticalmente para cima um ovo, que atinge uma altura máxima justo abaixo do teto, 65 cm acima do ponto de lançamento. Ele recupera o ovo na mesma altura de lançame
Darlene é uma motociclista de circo. Como clímax de seu show, ela larga de uma rampa inclinada de θ , salta um fosso de largura L e pousa em uma rampa mais elevada (altura h ) do outro lado. (a) Para
Um pequeno barco viaja diretamente para um porto 32 km a noroeste, quando entra numa zona de neblina. O capitão mantém a orientação noroeste, pela bússola, com uma rapidez de 10 km/h em relação à água