Enunciado

Você é um engenheiro trabalhando para uma empresa de manufatura. Você está projetando um mecanismo que usa um cabo para arrastar blocos de metal pesados por uma distância de 8,00   m ao longo de uma rampa inclinada em 40,0 ° acima da horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre esses blocos e a inclinação é μ C = 0,350 . Cada bloco tem uma massa de 2170   k g . O bloco será colocado na parte inferior da rampa, o cabo será preso e o bloco receberá um empurrão momentâneo para contornar o atrito estático. O bloco, então, deve acelerar a uma taxa constante para ser movido pelos 8,00   m em 4,20   s . O cabo é feito de uma corda de fios e paralelo à superfície da rampa. A tabela oferece a tensão de ruptura do cabo em função de seu diâmetro; a tensão de carga segura, que é 20 % da tensão de ruptura; e a massa por metro linear do cabo:

(a) Qual é o diâmetro mínimo do cabo que poderá ser usado para fazer subir um bloco na rampa sem ultrapassar o valor da carga segura da tensão no cabo? Ignore a massa do cabo e selecione o diâmetro dentre os listados na tabela. (b) Você precisa conhecer os valores da carga segura para os diâmetros que não estão na tabela, de modo que formule a hipótese de que a tensão de ruptura e o limite de carga segura são proporcionais à seção transversal do cabo. Desenhe um gráfico que teste essa hipótese e discuta sua exatidão. Qual é a sua estimativa do valor da carga segura para um cabo com diâmetro de 9 / 16 pol? (c) O coeficiente de atrito estático entre o bloco e a rampa é μ S = 0,620 , que é quase o dobro do valor do coeficiente de atrito cinético. Se o mecanismo emperrar e o bloco parar no meio da rampa, qual é a tensão no cabo? Ela é maior ou menor que o valor de quando o bloco está se movendo? (d) A tensão real no cabo, em sua extremidade superior, é maior ou menor que o valor calculado quando você ignora a massa do cabo? Se o cabo tem 9,00   m de extensão, é correto ignorar sua massa?

Passo 1

O enunciado desse problema foi um pouquinho longo, né? Mas vamos com calma que o RespondeAí vai te ajudar a passar por cima dele!

Para começar o problema, vamos calcular a tensão no fio na situação descrita no enunciado. O primeiro passo é calcular a aceleração usando cinemática!

O bloco parte do repouso e percorre Δ S = 8,00   m em t = 4,20   s , com aceleração constante, de modo que podemos usar

Δ S = v 0 t + a t 2 2 = a t 2 2 → 2 Δ S t 2

Portanto,

a = 2 ⋅ 8,00 4,20 2 = 0,907   m / s 2

Passo 2

Agora vamos desenhar as forças que agem sobre o bloco enquanto ele sobe:

Como o bloco sobe, a força de atrito cinético aponta no sentido descendente do plano inclinado. Já fiz a decomposição do peso de modo que

N = P y = P cos ⁡ θ = m g cos ⁡ θ

Aplicando a segunda lei de Newton na direção do movimento:

F - F a t - P x = m a

Logo,

F - μ C N - P   s e n   θ = m a → F - μ C m g cos ⁡ θ - m g   s e n   θ = m a

Portanto,

F = m a + g s e n   θ + μ C cos ⁡ θ

Substituindo os valores:

F = 2170 ⋅ 0,907 + 9,8 ⋅ s e n   40,0 ° + 0,350 ⋅ cos ⁡ 40,0 °

Fazendo as contas, achamos

F = 21,3   k N

Olhando na tabela, vemos que o primeiro fio cuja tensão de segurança supera esses 21,3   k N é o fio cuja diâmetro é 5 / 8   p o l .

Passo 3

No item (b), devemos verificar a hipótese se a tensão de ruptura T é proporcional a seção transversal do fio. Para isso, devemos lembrar que a área da seção transversal é proporcional ao diâmetro ao quadrado, de modo que definindo uma variável

x = d 2 ,

devemos esperar um comportamento do tipo

T = A x 2

Com isso, vamos fazer um gráfico de T em função de x 2 , cujos dados são mostrados na tabela:

Observamos que uma reta ajusta muito bem os pontos, de modo que a hipótese levantada é verificada! Para um diâmetro com d = 9 / 16   p o l , temos x = 0,316   p o l 2 . Do gráfico, podemos estimar uma tensão próxima de

T ≈ 25   k N

Passo 4

Agora vamos para o item (c)! Temos que considerar a situação estática, de modo que

F - F a t - P x = 0

Logo,

F = μ S N + P x

Repare que agora estamos usando o atrito estático. Podemos escrever ainda:

F = μ S m g c o s   θ + m g   s e n   θ = m g s e n   θ + μ S cos ⁡ θ

Portanto,

F = 2170 ⋅ 9,8 ⋅ s e n   40,0 ° + 0,620 ⋅ cos ⁡ 40,0 °

Fazendo as contas,

F = 23,8   k N

Essa tensão é maior que a tensão quando o bloco está se movendo na situação do item (a).

Passo 5

Considerando a massa do cabo, a tensão na extremidade superior será sempre maior que a tensão que calculamos nos itens acima, pois além da massa dos blocos, teríamos que considerar a massa do cabo, o que aumentaria a força necessária para fazer o sistema acelerar.

Observe que para um comprimento L = 9,00   m , a massa do cabo mais grosso será

m c a b o = 2,5 ⋅ 9 = 22,5   k g

Note que essa é a maior massa possível que um cabo pode ter no problema e que essa massa é bem menor que a massa do bloco, de modo que podemos ignorá-la sem muitos problemas...

Caso a massa do cabo se aproximasse um pouco mais da massa do bloco, aí teríamos que tomar um pouco mais de cuidado!

Resposta

5 / 8   p o l

T ≈ 25   k N

F = 23,8   k N

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