Enunciado

Você está explorando um planeta recém-descoberto. O raio do planeta é de 7,20   X   10 7   m . Você suspende um peso de chumbo preso à ponta inferior de uma corda leve com 4,00   m de extensão e massa de 0,0280   k g . Você calcula em 0,0685   s o tempo necessário para que um pulso transversal se desloque da ponta inferior à ponta superior da corda. Na Terra, para a mesma corda e peso de chumbo, são necessários 0,0390   s para que um pulso transversal se desloque pelo comprimento da corda. O peso da corda é pequeno o bastante para que seu efeito sobre a tensão na corda possa ser ignorado. Supondo que a massa do planeta seja distribuída com simetria esférica, qual é sua massa?

Passo 1

Faaaaala meu povo, bora iniciar mais um livrinho com a gente!

Neste problema, estamos calculando a massa de um planeta medindo o tempo que uma onda viaja em uma corda suspensa por um objeto de chumbo. Para fazer isso, primeiro percebemos que a velocidade da onda é determinada pela tensão da corda, que, em equilíbrio, é igual à força que o objeto de chumbo exerce sobre a corda, que é o seu peso (desconsideramos o peso de a corda). O peso de um objeto é determinado pela força gravitacional que o planeta exerce sobre ele na superfície do planeta, que é dada por:

F G = G m p m w R p 2

Onde m p é a massa do planeta, R p é o raio dado por: 7,2 × 10 7   m e m w é a massa do objeto de chumbo.

A velocidade da onda pode ser calculada a partir do tempo que leva para percorrer o comprimento da corda, que é de 4 metros. Na Terra, a velocidade é:

v t e r r a = 4   m 0,0390   s = 102,5641   m / s

E no planeta desconhecido é:

v p = 4   m 0,0 685   s = 58 , 39 41   m / s

A velocidade também é dada pela tensão como:

v = F μ  

onde a densidade de massa linear da corda, que é a mesma em todos os lugares, é dada como:

μ = 0,0280   k g 4   m = 7 × 10 - 3   k g / m

Podemos agora obter a tensão da corda na Terra como:

F t e r r a = μ v t e r r a 2

= ( 7 × 10 - 3   k g / m )   × 102,5641   m / s 2

F t e r r a = 73,6358   N

Passo 2

Também sabemos que uma fórmula aproximada para a força gravitacional na superfície da Terra é dada como:

F g = m w g

O que significa que a massa do objeto de chumbo é dada como:

m w = F t e r r a g t e r r a

= 73,6358   N 9,81 N k g

m w = 7,5062   k g

A tensão da corda no outro planeta é dada como:

F p = μ v p 2

= 7 × 10 - 3   k g / m 58,3941   m / s 2

F p = 23,8691   N

Com a tensão no outro planeta e a massa do objeto de chumbo (que permanece a mesma em todos os lugares), podemos calcular a aceleração gravitacional no outro planeta como:

g p = F p m w

= 23,8691   N 7,5062   k g

g p = 3,18   m / s 2

Finalmente, a massa do planeta é dada como:

g p = G m p R p 2

m p = g R p 2 G

= 3,18   m / s 2 × 7,2 × 10 7   m 2 ( 6 , 6743 × 10 - 11   N m 2 k g 2 )

m p = 2,47 × 10 26   k g

E assim acabamos nossa questão, deu tudo certinho aí? 😉 Te vejo na próxima!

Resposta

m p = 2,47 × 10 26   k g

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