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O raio R B de um buraco negro é o raio de uma superfície esférica chamada horizonte de eventos. Nenhuma informação a respeito da região situada no interior do horizonte de eventos pode chegar ao mundo exterior. De acordo com a teoria da relatividade geral de Einstein, R B = 2 G M / c 2   , onde M é a massa do buraco negro e c é a velocidade da luz.

Suponha que você deseje estudar um buraco negro a uma distância de 50 R B . Para evitar efeitos desagradáveis, você não quer que a diferença entre a aceleração gravitacional dos seus pés e da sua cabeça exceda 10   m / s 2 quando você está com os pés (ou a cabeça) na direção do buraco negro. (a) Qual é o limite tolerável da massa do buraco negro, em unidades da massa M S do Sol? (Você precisa conhecer seu peso). (b) O limite calculado no item (a) é um limite superior (você pode tolerar massas menores) ou um limite inferior (você pode tolerar massas maiores)?

Passo 1

Vamos ver se entendemos mesmo o problema. Um buraco negro é um corpo extremamente denso, ou seja, ele tem uma massa muito alta concentrada em um espaço relativamente muito pequeno.

Uma consequência disso é que a aceleração da gravidade varia de forma muito brusca quando nos aproximamos de sua superfície, ao ponto em que a diferença dessa aceleração nos seus pés e na sua cabeça poderia ser suficiente para partir você ao meio.

A questão quer saber qual é o limite da massa do buraco negro para que, a 50 R B de distância, essa diferença não exceda 10   m / s 2 . Vamos lembrar da fórmula para a aceleração da gravidade:

a g = G M r 2

Onde r = R B e M é a massa do buraco negro.

Passo 2

Queremos limitar a diferença entre a aceleração quando r = 50 R B e quando r = R B + h , onde h é a sua altura.

O seu instinto inicial pode ser substituir esses dois valores na fórmula e calcular a diferença, mas tem um jeito mais fácil. Como a sua altura h é muito menor do que 50 R B , podemos considerar esse +   h como um incremento d r no raio.

Vamos diferenciar a fórmula acima para ver no que dá:

d a g d r = - 2 G M r 3

Logo:

d a g = 2 G M r 3 d r

Só pra garantir que estamos entendendo: essa fórmula é o módulo do desvio na aceleração da gravidade quando fazemos um pequeno desvio no raio r .

Passo 3

Agora vamos usar a fórmula que o enunciado nos deu R B = 2 G M / c 2 , e igualar d r = h

d a g = 2 G M 50 R B 3 h

d a g = 2 G M 50 3 2 G M c 2 3   .   h

d a g = c 6 50 3 2 G M 2 h

Como queremos o limite da massa, temos que fazer d a g = 10 m / s 2 , ou seja:

c 6 50 3 2 G M 2 h = 10

Vamos considerar uma altura h qualquer, por exemplo h = 1,70   m , isso quer dizer que:

M = c 6 10 . 50 3 . 2 G 2 h = 3,0.10 8 6 10 50 3 2 G 2 1,7 = 1,8.10 32   k g

Como a massa do sol é M s = 2.10 30   k g , para obter a resposta em massas solares:

M = 1,8.10 32 2.10 30 = 90   M s

Calculado para uma altura h = 1,70   m

Passo 4

Resta saber se esse é um limite superior ou inferior.

Perceba que pela fórmula dada no enunciado, não é possível alterar a massa do buraco negro sem mexer no raio também. Essas duas grandezas seguem a relação R B = 2 G M / c 2 . Isso quer dizer que quanto maior for a massa do buraco negro, maior será seu raio.

Vamos voltar para a fórmula do desvio:

d a g = 2 G M 50 R B 3 h

Ou seja, quando aumentamos a massa (e consequentemente o raio R B ), por mais estranho que pareça, estamos diminuindo a diferença da aceleração da gravidade entre as extremidades do nosso corpo, ou seja, a resposta encontrada é um limite inferior.

Resposta

(a) M = 90 M s para uma altura h = 1,70   m

(b) É um limite inferior.

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