Enunciado

Você está medindo a dependência de frequência da potência média P m é d transmitida pelas ondas que trafegam em um fio. Em seu experimento, você usa um fio com densidade linear de 3,5 g/m. Para uma onda transversal no fio com amplitude de 4,0 mm, você mede P m é d (em watts) em função da frequência/ da onda (em Hz). Você escolheu desenhar P m é d em função de f2 (Figura P15.76). (a) Explique por que os valores de P m é d desenhados em função de f2 deverão estar bem ajustados a uma linha reta. (b) Use a inclinação da linha reta ajustada aos dados, mostrada na Figura P15.76, para calcular a velocidade das ondas. (c) Que frequência angular w resultaria em P m é d = 10,0W?

Passo 1

Fala galera, bora lá!

(a) Para a resolução desta questão será plotada curva referente aos pontos formados pelos dados do experimento e utilizado o conceito de função linear para caracteriza-la.

Sabe-se que a fórmula utilizada para o cálculo da potência média de uma onda em uma corda é conforme abaixo:

P m e d = 1 2 μ T 4 π 2 f 2 A 2

P m e d : potência média

μ : densidade linear

T : tensão

f : frequência

A : amplitude

Passo 2

A curva deve se aproximar de uma reta devido à natureza da equação referente à potência média, a qual se assemelha a uma função linear de 1º grau, considerando f 2 como sendo a variável pertencente ao eixo das abcissas. Como

i = 1 2 μ T 4 π 2 A 2

Logo,

P m e d = i f 2

i : inclinação da reta

Passo 3

Portanto, a curva da função referente à potência média da onda plotada no gráfico aproxima-se de uma reta devido à natureza de sua equação que corresponde a uma função linear de 1° grau.

Passo 4

(b) Para a resolução desta questão será utilizada a fórmula para o cálculo da potência média de uma onda em um fio, conforme no passo 1:

Com base nos dados fornecidos no gráfico, escolheu-se como ponto de referência o correspondente à potência média de 12,1 W (ponto mais exato para aferição dos dados):

P m e d = 12,1   W

f 2 = 40000

Passo 5

Por ser uma reta, através de proporção, pode-se determinar o valor da frequência ao quadrado relativa a potência de 4 W (ponto arbitrário escolhido):

y 1 x 1 = y 2 x 2

4 x 1 = 12,2 40000

x 1 = 13114,75   H z 2

Sabe-se que a tangente do ângulo de inclinação de uma reta qualquer pode ser determinada conhecendo-se dois pontos pertencentes a tal reta a partir da expressão abaixo:

tan ⁡ θ = y 2 - y 1 x 2 - x 1

Passo 6

Para um melhor ajuste dos valores, considerou-se uma reta interligando o primeiro ponto da curva ( 13114,754 ;   4 ) ao último ponto da curva ( 40 000 ;   12,2 ) . Logo, a tangente do ângulo de inclinação da reta corresponde a

tan ⁡ θ = 12,2 - 4 40000 - 13114,75

tan ⁡ θ = 3,05 × 10 - 4

A derivada da função correspondente a reta equivale a equação da potência média:

d g d f 2 = 1 2 T μ 4 π 2 A 2

Como a derivada da função é numericamente igual à tangente do ângulo de inclinação, pode-se determinar o valor da tensão no fio a partir das seguintes operações abaixo:

1 2 T μ 4 π 2 A 2 = tan ⁡ θ

T = 1 μ tan ⁡ θ 2 π 2 A 2 2 = 1 0,0035 3,05 × 10 - 4 2 π 2 4,0 × 10 - 3 2 2

T = 266,46   N

Passo 7

Sabe-se também que a velocidade de propagação de uma onda em um fio é determinada pela seguinte expressão:

v = T μ

v : velocidade

T : tensão

μ : densidade linear

Com tais dados disponíveis, pode-se determinar a velocidade, conforme abaixo, faz-se a aproximação para dois algarismos significativos:

v = 266,46 0,0035

Portanto, a velocidade das ondas produzidas no fio corresponde a:

v = 276   m / s

Passo 8

(c) Para a resolução desta questão será utilizada será utilizada a fórmula usada para a determinação da frequência angular:

w = 2 π f

w : frequência angular

f : frequência

Com base nos dados fornecidos no gráfico, verifica-se que a o valor da frequência ao quadrado relativa à potência média de 10 W equivale a 33,000 Hz²:

P m e d = 10   W

f 2 = 33000

Passo 9

Determina-se então o valor final da frequência:

f = x 1 = 3 3000

f = 181,66   H z

Assim, obtém-se a frequência angular conforme abaixo, faz-se a aproximação para dois algarismos significativos:

w = 2 π f = 2 π 181,66

Logo, o valor da frequência angular correspondente a uma potência de 10 W equivale aproximadamente a:

w = 1141,4   m / s

Resposta

  1. A curva da função referente à potência média da onda plotada no gráfico aproxima-se de uma reta devido à natureza de sua equação que corresponde a uma função linear de 1° grau.
  2. Portanto, a velocidade das ondas produzidas no fio corresponde a v = 276   m / s
  3. Logo, o valor da frequência angular correspondente a uma potência de 10 W equivale aproximadamente a w = 1141,4   m / s

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