Enunciado

Uma corda fina, com 2,50 m de extensão, é esticada entre dois suportes, com uma tensão de 90,0 N entre eles. Quando a corda vibra em seu primeiro sobretom, um ponto em um ventre da onda estacionária na corda tem amplitude de 3,50 cm e velocidade transversal máxima de 28,0 m/s. (a) Qual é a massa da corda? (b) Qual é o módulo da aceleração transversal máxima desse ponto na corda?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Vamos utilizar nossos conhecimentos sobre oscilações e ondas, em que usaremos as equações das propriedades que descrevem uma onda estacionária e a solução geral da equação de ondas.

Passo 2

(a) Vamos calcular a massa da corda, para isso calcularemos primeiramente o valor de w a partir do dado sobre a amplitude e a velocidade transversal máxima no primeiro sobretom (segundo harmônico). Temos que a velocidade transversal máxima é a amplitude da função da velocidade transversal, então vamos calcular esta função derivando a solução geral da equação de ondas estacionarias em função do tempo:

y ( x , t ) = A   s i n ⁡ ( k x )     s i n ⁡ ( w t )     →   ∂ y ∂ t = w A   s i n ⁡ ( k x )   c o s ⁡ ( w t )

w A = 28

Basta agora isolar w e substituir A = 3,5   c m = 3,5 × 10 - 2   m

w = 28 3,5 × 10 - 2 = 800

Passo 3

Precisaremos também do comprimento de onda, este pode ser obtido através da fórmula do comprimento de onda em função do comprimento da corda e do número do harmônico, então podemos utilizar n = 2 e L = 2,5   m :

λ n = 2 L n

λ 2 = 2 2,5 2 = 2,5

O comprimento de onda será utilizado agora para calcular o número de onda, temos então:

k = 2 π λ = 2 π 2,5

k = 2,51

A velocidade de propagação é, por definição, a razão entre w e k , portanto:

v = 800 2,51 = 318,72   m / s

Passo 4

Agora que temos achar a velocidade, podemos utilizar a equação da velocidade, isolar a densidade linear μ e substituir os valores de velocidade e tensão que temos:

v = T μ     →   μ = T v 2

μ = 90 318,72 2 = 8,86 × 10 - 4

Como a densidade linear é a razão da massa pelo comprimento, basta multiplicar ela pelo comprimento da corda:

m = 2,5 8,86 × 10 - 4

Portanto, a massa da corda é

m = 2,21 × 10 - 3   k g

Passo 5

(b) Vamos agora calcular o módulo da aceleração transversal máxima. Para isso iremos derivar a equação da velocidade que obtivemos no passo 2 e tomar a constante que a multiplica, que é exatamente a aceleração transversal máxima, pois representa a amplitude da função aceleração.

∂ y ∂ t = w A   s i n ⁡ ( k x )   c o s ⁡ ( w t )

∂ 2 y ∂ t 2 = - w 2 A   s i n ⁡ ( k x )   s i n ⁡ ( w t )

Logo

a m a x = w 2 A

Portanto, o módulo da aceleração transversal máxima da onda é

a m a x = 22400   m / s 2

Resposta

  1. A massa da corda é m = 2,21   g .
  2. O módulo da aceleração transversal máxima da onda é a m a x = 22400   m / s 2 .

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