Enunciado

Uma corda de violão está vibrando em seu modo fundamental, com nós em ambas as extremidades. O comprimento do segmento da corda que está livre para vibrar é 0,386 m. A aceleração transversal máxima de um ponto no meio de um segmento é 8,40 X 103 m/s2 e a velocidade transversal máxima é 3,80 m/s. (a) Qual é a amplitude dessa onda estacionária? (b) Qual é a velocidade da onda para as ondas progressivas transversais na corda?

Passo 1

Fala galera, bora lá! Para resolver este problema, vamos colocar em prática nosso conhecimento sobre ondas mecânicas, em que usaremos essencialmente as equações (15.1) e (15.28), expostas abaixo, ao longo de nossa resolução.

v = λ f e y x t = ( A E S sin ⁡ k x sin ⁡ w t

Em que v é a velocidade da onda, λ o comprimento da onda, f a frequência, y a função de onda, A E S a amplitude de onda estacionária, k o número de onda, x a posição, w a frequência angular e t o tempo.

Passo 2

(a) Neste item, determinaremos qual é a amplitude dessa onda estacionária.

Na análise diferencial de onda, tem-se que a derivada da função de onda em relação ao tempo nos fornece a velocidade da onda no tempo e, além disso, a derivada segunda da função de onda nos fornece a aceleração. Ou seja:

v y = ∂ y ∂ t = w A E S cos ⁡ w t

a y = ∂ v y ∂ t = - w 2 A E S sin ⁡ w t

Observa-se ainda que tais variáveis atingem seus valores máximos quando a função trigonométrica tem valor unitário. Deste modo:

v y a b s = w A E S

a y a b s = - w 2 A E S

Passo 3

Assim, pela equação da velocidade máxima tem-se que a amplitude dessa onda estacionária é dada através da divisão da velocidade máxima pela amplitude. Ademais, nota-se ainda que dividindo as equações obtém-se o valor da frequência angular.

w = a y a b s v y a b s = 8,40 × 10 3   m / s 2 3,80   m / s

w = 2,21 × 10 3   r a d / s

Uma vez conhecendo esse valor, podemos calcular a amplitude como já explicado. Deste modo:

A E S = v y a b s w = 3,80 2,21 × 10 3

Portanto, a amplitude dessa onda estacionária é

A E S = 1,72 × 10 - 3   m

Passo 4

(b) Por fim, nesta alternativa, calcularemos a velocidade da onda para as ondas progressivas transversais na corda.

Lembrando que para o modo fundamental λ = 2 L e que a frequência é calculada dividindo a frequência angular por 2 π , podemos aplicar tais relações na equação (15.1) e calcular o valor da velocidade. Assim:

v = λ f = 2 L w 2 π

v = L w π = 0,386 2,21 × 10 3   π

Desta forma, a velocidade da onda para as ondas progressivas transversais na corda é

v = 272   m / s

Resposta

  1. A amplitude dessa onda estacionária é A E S = 1,72 × 10 - 3   m .
  2. A velocidade da onda para ondas progressivas transversais na corda é v = 272   m / s .

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