Enunciado

Você observa um carro esporte de 1350   k g se deslocando ao longo de um pavimento plano, em linha reta. As únicas forças horizontais que atuam sobre ele são uma força de rolamento constante e a resistência do ar (proporcional ao quadrado da sua velocidade). Você coleta os seguintes dados durante um intervalo de tempo de 25   s : quando sua velocidade escalar é 32   m / s , o carro reduz a velocidade a uma taxa de - 0,42   m / s 2 , e quando a sua velocidade escalar é reduzida para 24   m / s ele reduz para - 0,30   m / s 2 .

  1. Ache o coeficiente de atrito de rolamento e a constante de arraste do ar D .
  2. A qual velocidade escalar constante esse carro descerá por uma inclinação que forma um ângulo de 2,2 ° com o plano horizontal?
  3. Como a velocidade escalar constante para uma inclinação de ângulo β se relaciona com a velocidade escalar terminal desse carro esporte, se ele cair de um rochedo alto? Suponha que em ambos os casos a força de resistência do ar seja proporcional ao quadrado da velocidade escalar, e a constante de arraste do ar é a mesma.

Passo 1

As forças que agem sobre esse carro são:

Força de rolamento:

f r = μ r m g

Força de resistência do ar:

f a r = D v 2

Onde μ r é o coeficiente de atrito de rolamento e D a constante de arraste do ar. Ambas forças são contrárias ao movimento. A ideia aqui é aplicar a segunda lei com os dados que são fornecidos de aceleração e velocidade e montar um sistema com as variáveis μ r   e   D . Daí resolver esse sistema para essas duas constantes. Vamos lá? Da segunda lei temos:

- μ r m g - D v 2 = m a

Quando v = 32 m / s a aceleração é - 0,42 m / s 2 , e quando v = 24 m / s a aceleração é - 0,3 m / s 2 . Então vamos substituir e formar um sistema de equações:

- μ r . 1350.9,8 - D . 32 2 = 1350 . - 0,42 - μ r . 1350.9,8 - D . 24 2 = 1350 . - 0,3

Fazendo as multiplicações teremos:

- 13230 μ r - 1024 D = - 567 - 13230 μ r - 576 D = - 405

Subtraindo essas duas equações teremos:

- 1024 D + 576 D = - 567 + 405

- 448 D = - 162

D = - 162 - 448 = 0,36

E podemos usar esse valor de D para determinar μ r usando qualquer uma das duas equações do sistema. Vou escolher a primeira:

- 13230 μ r - 1024 D = - 567

- 13230 μ r - 1024 ( 0,36 ) = - 567

- 13230 μ r = - 198,36

μ r = - 198,36 - 13230 = 0,015

Assim o coeficiente de atrito de rolamento é μ r = 0,015 e o de arraste do ar D = 0,36 .

Passo 2

Aplicando a segunda lei, temos que na vertical a normal vai ser contrabalançada com a componente vertical do peso m g c o s β :

n = m g c o s β

E na horizontal, além das forças de arraste e de atrito de rolamento, teremos a componente horizontal da força peso m g s e n β , paralela ao plano inclinado e na direção do movimento.

Aplicando a segunda lei e juntando todas essas informações teremos:

m g s e n β - μ r m g c o s β - D v 2 = m a

Como o carro desce com velocidade constante, m a = 0 , então ficamos com a seguinte expressão:

m g s e n β - μ r m g c o s β - D v 2 = 0

Agora é só resolver para v :

1350.9,8 . s e n 2,2 - 0,015.1350.9,8 . c o s ⁡ ( 2,2 ) = 0,36 v 2

v 2 = 859 , 9

v = 29,32 m / s

Passo 3

A velocidade escalar constante para um ângulo β pode ser determinada a partir da equação que encontramos no passo anterior:

m g s e n β - μ r m g c o s β - D v 2 = 0

Isolando v no lado esquerdo temos:

v 2 = m g s e n β - μ r m g c o s β D

v = m g s e n β - μ r m g c o s β D

E a velocidade terminal de um carro é quando a força de arraste se iguala a força gravitacional:

D v t 2 = m g

v t 2 = m g D

v t = m g D

E dividindo uma pela outra teremos uma relação entre elas:

v v t = m g s e n β - μ r m g D m g D = m g s e n β - μ r m g c o s β D . D m g

v v t = ( s e n β - μ r c o s β )

No nosso caso μ r = 0,015 então a relação entre as velocidades é:

v = v t ( s e n β - 0,015 c o s β )

Resposta

a )   μ r = 0,015   ;   D = 0,36 .

b )   v = 29,32 m / s

c )   v = v t ( s e n β - 0,015 c o s β )

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