Enunciado

Você pendura um aro fino de raio R em um prego na periferia do aro. Você o desloca lateralmente até um ângulo β a partir de sua posição de equilíbrio e a seguir o liberta. Qual é sua velocidade angular quando ele retoma para sua posição de equilíbrio? (Sugestão: Use a Equação (9.18).)

Passo 1

Como sugere a dica do exercício, abordaremos esse problema considerando o movimento do centro de massa. Este último será posicionado a uma distância R abaixo do ponto de suspensão. Se considerarmos que o centro de massa foi elevado por hh durante a distorção do equilíbrio por β, podemos escrever, a partir da conservação da energia, que

m g h   =   I ω 2 2

Claramente, o que estamos procurando é

ω = 2 m g h I

Ou seja, precisamos encontrar a altura h e o momento de inércia, I, e então podemos resolver o problema.

Consideremos a seguinte geometria: um arco criado por um raio R, com um comprimento sendo vertical, e o ângulo sendo um pequeno β. Projetando a perna "levantada" para a vertical, vemos que essa projeção é Rcosβ. Portanto, a diferença de altura é

h = R ( 1 - c o s θ )

Passo 2

Agora, vamos considerar que o momento de inércia dessa montagem, aplicando o teorema dos eixos paralelos, será o de uma circunferência pelo seu centro mais a massa vezes a distância do eixo que passa pelo centro de massa até o ponto de pivô. Ou seja, no nosso caso, simplesmente

I = I c m + m R 2 = m R 2 + m R 2 = 2 m R 2

Substituindo nossos resultados na expressão para a velocidade angular, obtemos

ω = 2 m g R ( 1 - c o s   β ) 2 m R 2 = g ( 1 - c o s   θ ) R

Resposta

g ( 1 - c o s   θ ) R

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