Enunciado

Você está projetando uma sequência de viagem em cipó, para o último filme de Tarzan. Para determinar a rapidez do Tarzan no ponto mais baixo de sua trajetória, para se certificar de que ela não ultrapassa os limites estabelecidos de segurança, você elabora um modelo em que o sistema Tarzan+cipó é um péndulo. Em seu modelo, a partícula (Tarzan, 100 kg de massa) oscila na extremidade de um fio leve (o cipó) de comprimento l preso a um suporte. O ângulo entre a vertical e o fio é ϕ . (a) Desenhe um diagrama de corpo livre para o corpo na extremidade do fio (Tarzan no cipó). (b) Uma distância infinitesimal ao longo do arco (pelo qual o corpo se move) é l d ϕ . Escreva uma expressão para o trabalho total d W t o t a l realizado sobre a partícula enquanto ela percorre esta distância, para um ângulo arbitrário ϕ . (c) Se l = 7,0 m e se a partícula parte do repouso a um ângulo de 50º, determine a energia cinética da partícula e sua rapidez, no ponto mais baixo do percurso, usando o teorema do trabalho-energia cinética.

Passo 1

Letra (a)

Passo 2

Letra (b)

O trabalho de uma força é dado pela fórmula:

W = F d c o s θ

Podemos usar essa fórmula quando a força é constante e quando o deslocamento d é muito pequeno, que é o caso. A tração é sempre perpendicular ao deslocamento, então só a força gravitacional exerce trabalho:

d W t o t a l = F g ∙ d s ∙ c o s ( 90 ° - ϕ )

d W t o t a l = F g ∙ d s ∙ s e n ϕ

Só que d s = - l d ϕ

O sinal de menos é porque o ângulo ϕ está diminuindo.

d W t o t a l = - F g l d ϕ s e n ϕ

Como F g = m g :

d W t o t a l = - m g l s e n ϕ d ϕ

Passo 3

Letra (c)

Usando o teorema trabalho-energia, vamos ter o seguinte:

W = Δ E c

Lembrando que a energia cinética inicial é nula, pois parte do respouso:

W = 1 2 m v f 2

Passo 4

O trabalho nesse percurso é dado pela integral:

W = - ∫ 50 ° 0 ° m g l s e n ϕ d ϕ

W = - m g l - c o s ϕ 50 0

Jogando os valores:

W = - ( 100   k g ) ( 9,81   m / s 2 ) ( 7,0   m ) ( 1 - c o s 50 ° )

W = 2,5   k J

Passo 5

Voltando para a fórmula W = 1 2 m v f 2 :

Isolando o v f :

v f = 2 W m

Jogando os valores:

v f = 2 ( 2500   J ) 100   k g = 7,0   m / s    

Resposta

Letra (a):

Letra (b): d W t o t a l = - m g l s e n ϕ d ϕ

Letra (c): 7,0 m/s

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