Enunciado

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Você é o responsável pela primeira expedição tripulada a um asteroide. Você está preocupado pelo fato de que, devido ao pequeno campo gravitacional e à consequente pequena rapidez de escape, sejam necessários cabos de fixação para manter os astronautas na superfície do asteroide. Portanto, se você não deseja utilizar cabos, você deve cuidar na escolha dos asteroides a serem explorados. Estime o maior raio que um asteroide pode ter para ainda permitir que você escape de sua superfície com um salto. Suponha uma forma esférica e uma massa específica de rocha razoável.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A velocidade de escape é dada por:

v e = 2 G M R

Representando a massa em permos da densidade e volume, temos:

v e = 2 G ρ V R

v e = 2 G ρ 4 3 π R 3   R

v e = R 8 3 π G ρ

O Raio é então:

R = v e 8 3 π G ρ

A velocidade pode ser encontrada por bernoulli:

v 2 = v 0 2 - 2 g h

v 0 2 = 2 g h

v 0 = 2 g h

Portanto:

R = 2 g h 8 3 π G ρ

R = 3 g h 4 π G ρ

Assumindo alguns valores, para exemplificar, temos:

R = 3 ⋅ ( 9,81   m / s 2 ) ⋅ ( 0,75   m ) 4 π 6,673 ⋅ 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 3 g c m 3 ⋅ 1 k g 10 3 g ⋅ 10 6 c m 3 m 3  

R = 3   k m

Resposta

R = 3 g h 4 π G ρ

R = 3   k m

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