Enunciado

Você solta uma bola de uma janela do andar superior de um edifício. Ela atinge o chão com velocidade v. Agora você repete o lançamento, mas seu amigo no chão joga outra bola para cima com a mesma velocidade v, soltando a bola dele no mesmo momento em que você solta a sua da janela. Em algum local, as bolas passam uma pela outra. Esse local é 

  1. no meio do caminho entre a janela e o chão,
  2. acima desse ponto ou
  3. abaixo desse ponto

Passo 1

Bom, da perspectiva da pessoa que soltou a bola da janela, a equação que descreve o ponto do espaço S , onde a bola que foi largada encontra com a que foi lançada pra cima, é a seguinte:

S = h + v 0 t - g t 2 2

O sinal negativo em g t 2 2 é convenção pra indicar que o objeto está caindo, ou seja, indo pra posições no espaço de “menor valor”.

Aqui, h é a altura exata de onde a bola foi largada, v 0 é a velocidade inicial da bola quando ela foi largada e g é a aceleração da gravidade.

Você há de convir que, se a bola foi meramente largada, ela inicia o movimento de queda livre com velocidade inicial nula! Ou seja, v 0 = 0 . Então, dá pra reescrever a equação assim:

S = h - g t 2 2

Passo 2

Agora a gente faz a mesma coisa pra bola que foi lançada pra cima. No ponto S ,onde essa bola encontra a que está caindo, vamos escrever assim:

S = 0 + v t - g t 2 2

Aqui, o zero seria o chão, a posição inicial da bola (de onde ela é arremessada pra cima), considerando desprezível a altura da pessoa que a arremessou, frente a altura h , de onde a outra bola foi solta; v , como diz o enunciado, é a velocidade inicial do arremesso da bola.

Como o ponto de partida dessa bola é o ponto zero, podemos reescrever a equação assim, então:

S = v t - g t 2 2

Passo 3

E eu não disse nos Passos 1 e 2 que S é o ponto no espaço em que as bolas passam uma pela outra? Sendo assim, as equações que achamos pra S se equivalem!

Então dá pra gente igualar as equações desses últimos Passos, assim:

S = h - g t 2 2 = v t - g t 2 2

Simplificando os termos iguais, vamos ter:

h = v t

Isolando t , o momento de encontro das bolas em S , temos:

t = h v

Passo 4

Se a gente substituísse a última expressão em alguma das equações pra S que escrevemos nos Passos 1 e 2, acredite, ainda assim não chegaríamos a nada muito conclusivo.

Mas se você reler o enunciado, vai ver que, no primeiro experimento com a bola jogada da janela, ela atingiu o solo com velocidade v . Dá pra gente encontrar uma expressão pra v usando a equação de Torricelli da seguinte forma:

v 2 = 0 2 + 2 g h

Onde 0 (zero mesmo!) é a velocidade inicial da queda (já que a bola foi apenas solta das mãos).

Com isso, a gente pode escrever que:

v 2 = 2 g h

E, por fim:

v = 2 g h

Vamos jogar essa expressão pra v na última equação do Passo 3 e, aí sim, vamos aplicar a expressão resultante em alguma das equações pra S .

Passo 5

Determinamos no Passo 4 uma expressão pra v , a velocidade com que a bola abandonada da janela atingiu o solo da primeira vez que foi jogada, que também é a velocidade com que a outra bola foi arremessada pra cima.

Com isso, a gente chegou na seguinte expressão:

t = h v = h 2 g h

Bom, agora vamos jogar essa expressão na equação pra S do Passo 1 (podia ser a do Passo 2 também, tanto faz, mas vai ser mais fácil!):

S = h - g h 2 g h 2 2

Vamos desenvolver os cálculos com calma, e vamos ter o seguinte:

S = h - g ∙ h 2 2 g h 2

S = h - g h 2 4 g h

S = h - h 4

∴ S = 3 h 4

E essa expressão nos dá o ponto de encontro S em função da altura do edifício.

Bom, 3 / 4 de algum número equivale a 0,75 vezes esse mesmo número, ou ainda, 75 % . Ou seja, o ponto de encontro S acontece a 75 % de h , o que é uma altura acima da metade de h , que seriam 50 % .

Com isso, ficamos com a alternativa b)

Resposta

Alternativa b)

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