Enunciado

Você tem um objeto de cada uma destas formas, todas com massa de 0,840 kg: um cilindro sólido uniforme, um cilindro oco com parede fina, uma esfera sólida uniforme e uma esfera oca com parede fina. Você solta cada objeto do repouso à mesma altura vertical h acima da base de uma longa rampa de madeira inclinada em 35,0° a partir da horizontal. Cada objeto rola sem deslizar descendo a rampa. Você mede o tempo t gasto para cada objeto alcançar a base da rampa; a Figura P10.89 mostra os resultados. (a) Pelos gráficos de barras, identifique os objetos de A até D pela forma. (b) Qual dos objetos de A até D tem a maior energia cinética total na base da rampa, ou todos os objetos têm a mesma energia cinética? (c) Qual dos objetos de A até D tem a maior energia cinética rotacional 1 2Iv2 na base da rampa, ou todos eles têm a mesma energia cinética rotacional? (d) Qual é o menor coeficiente de atrito estático exigido para todos os quatro objetos rolarem sem deslizar?

Passo 1

Vamos fazer mais uma questão!!

E aiii galera,

Letra a:

Podemos expressar o momento de inércia de um objeto redondo como, I = c m R 2 , onde c depende da forma e distribuição da massa. A conservação de energia nos dá K 1 + U 1 = K 2 + U 2 , então:

m g h = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2 = 1 2 m v 2 + 1 2 c m R 2 ω 2 = 1 2 m v 2 + 1 2 c m R 2 v R 2 = 1 2 v 2 1 + c

Resolvendo para v 2 :

:

v 2 = 2 g h 1 + c

Este v é a velocidade na parte inferior da rampa. O objeto com a maior velocidade v também terá a maior velocidade média na rampa e, portanto, levará o menor tempo para chegar ao fundo. Portanto o objeto com o menor c terá o maior v. Para um cilindro sólido, I = 1 2 m R 2   então   c = 1 / 2 para um cilindro oco, I = m R 2 ,   então   c = 1 e da mesma forma, obtemos c = 2 / 5 para uma esfera sólida e c = 2 / 3 para uma esfera oca.

O menor valor de c é 2/5 para uma esfera sólida, de modo que esse objeto deve levar o menor tempo possível, o que o torna o objeto A.

O maior valor de c é l para um cilindro oco, de modo que o objeto leva mais tempo, o que o torna o objeto D.

A esfera oca tem um c maior do que o cilindro sólido, por isso leva mais tempo do que o cilindro sólido, então C deve ser a esfera oca e B o cilindro sólido.

Resumindo esses resultados, temos:

A: esfera sólida, c = 2/5

B: cilindro sólido, c = 1/2

C: esfera oca, c = 2/3

D: cilindro oco, c = 1

Passo 2

Letra b:

Todos os objetos partem do repouso na mesma altura inicial e rolam sem escorregar, de modo que todos têm a mesma energia cinética na parte inferior da rampa.

Passo 3

Letra c:

Usando

K rot  = 2 1 I c m ω 2

Temos

K rot  = 1 / 2 c m R 2 ( v / R ) 2 = 1 / 2 m c v 2

K rot  = 1 2 m c 2 g h 1 + c = m g h 1 1 + 1 c

A partir deste resultado, vemos que o objeto com o maior c tem a maior energia cinética rotacional porque o denominador entre parênteses é o menor. Portanto, o cilindro vazio, com c = 1, tem a maior energia cinética rotacional.

Passo 4

Letra d:

Aplique a segunda lei de Newton. Perpendicular à superfície da rampa, obtemos n = m g c o s ⁡ θ para a força normal. Paralelo à superfície, com a descida da rampa positiva, obtemos m g s i n ⁡ θ - f s = m a .

Tomando torques sobre o centro do objeto rolante, temos f R = I α = m c R 2 ( a / R ) , que nos dá f 1 = m c a ,   então   m a = f v / c .

Colocando isso na equação anterior resulta:

mgsin ⁡ θ - f 1 = f 1 c

Que pode ser escrito como:

mgsin ⁡ θ = f 1 1 + 1 c

Queremos o coeficiente mínimo de atrito para evitar escorregões, então:

f s = μ s n = μ s mgcos ⁡ θ

Colocando isso na equação anterior:

mgsin ⁡ θ = μ 1 mgcos ⁡ θ 1 + 1 c

μ 3 = tan ⁡ θ 1 + 1 c

Queremos μ s , de forma que nenhum dos objetos deslize, então devemos encontrar o μ s máximo. Isso ocorrerá quando c tiver seu maior valor, pois isso tornará o denominador menor e é para o cilindro oco para o qual c = 1.

Isso nos dá:

μ 1 = tan ⁡ 35.0 ∘ 2 = 0.350 .

Resposta

  1. Ver resolução
  2. Todos os objetos partem do repouso na mesma altura inicial e rolam sem escorregar, de modo que todos têm a mesma energia cinética na parte inferior da rampa.
  3. O cilindro vazio, com c = 1, tem a maior energia cinética rotacional.
  4. Cilindro oco para o qual c = 1.

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