Enunciado

Dois vetores são dados por   A →   =   – 3 i ^   +   7 j ^   –   4 k ^ e B →   =   6 i ^ -   10 j ^ +   9 k ^ . Calcule as seguintes quantidades

  1. cos - 1 ⁡ A → ∙ B → / A B
  2. sen - 1 ⁡ A → × B → / A B
  3. Qual(is) dá(ão) o ângulo entre os vetores?

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

A → ⋅ B → = - 3.00 ( 6.00 ) + 7.00 ( - 10.0 ) + ( - 4.00 ) ( 9.00 ) = - 124

A B = ( - 3.00 ) 2 + ( 7.00 ) 2 + ( - 4.00 ) 2 ⋅ ( 6.00 ) 2 + ( - 10.0 ) 2 + ( 9.00 ) 2 = 127

Passo 2

Letra a:

cos - 1 ⁡ A → ⋅ B → A B = cos - 1 ⁡ - 0.979 = 168 ∘

Passo 3

Letra b:

A → × B → = i ^ j ^ k ^ - 3.00 7.00 - 4.00 6.00 - 10.0 9.00 = 23.0 i ^ + 3.00 j ^ - 12.0 k ^

A → × B → = ( 23.0 ) 2 + ( 3.00 ) 2 + ( - 12.0 ) 2 = 26.1

sin - 1 ⁡ A → × B → A B = sin - 1 ⁡ 0.206 = 11.9 ∘  or  168 ∘

Passo 4

Letra c:

Apenas o primeiro método fornece o ângulo entre os vetores inequivocamente porque s i n ⁡ 180 ∘ - θ = s i n ⁡ θ mas c o s ⁡ 180 ∘ - θ = - c o s ⁡ θ ; em outras palavras, os vetores podem ser separados em no máximo 180° e usando o segundo método não pode distinguir θ de 180 ∘ - θ .

Resposta

  1. 168 ∘
  2. 11.9 ∘
  3. Apenas o primeiro método fornece o ângulo entre os vetores inequivocamente porque s i n ⁡ 180 ∘ - θ = s i n ⁡ θ mas c o s ⁡ 180 ∘ - θ = - c o s ⁡ θ ; em outras palavras, os vetores podem ser separados em no máximo 180° e usando o segundo método não pode distinguir θ de 180 ∘ - θ .

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