Enunciado

Dois vetores A → e B → têm módulos precisamente iguais. Para o módulo de A →   +   B → ser 100 vezes maior que o de   A →   – B → , qual deve ser o ângulo entre eles?

Passo 1

Começamos escrevendo matematicamente o que enunciado pede, e teremos:

A →   +   B → = 100 ∙ A → -   B →

Vamos fazer um manejo matemático nessa equação, elevando ambos os lados ao quadrado. Nisso, vamos ter:

A →   +   B → 2 = 10 4 ∙ A → -   B → 2

Passo 2

Da definição de produto interno (ou escalar) lá da Álgebra Linear e da Geometria Analítica, você deve lembrar que:

A → ∙ B → = A → ∙ B → ∙ c o s c o s   θ  

Em que A → ∙ B → é a expressão que define o produto interno entre os vetores A → e B → , A → e B → são os módulos desses vetores e θ é o ângulo entre esses dois vetores. Um desenho te ajuda a visualizar isso melhor:

Agora, também é possível a gente calcular o produto interno entre um vetor e ele próprio. Exemplos seriam os produtos internos A → ∙ A → ou B → ∙ B → . Se aplicarmos a definição de produto interno dada ali em cima pra A → ∙ A → , por exemplo, a gente teria:

A → ∙ A → = A → ∙ A → ∙ c o s c o s   α  

Em que α seria o ângulo entre o vetor A → e ele mesmo. Só que você há de convir que o ângulo entre um vetor e ele mesmo vale 0 , e o cosseno de 0 vale 1 !

Nisso, essa última expressão pode ser reescrita assim:

A → ∙ A → = A → 2

Com isso em mente, vamos retornar lá pra equação em que paramos no Passo 1:

Passo 3

A →   +   B → 2 = 10 4 ∙ A → -   B → 2

Paramos aqui, certo? E você acabou de ver que o quadrado do módulo de um vetor equivale ao produto interno desse vetor com ele mesmo, correto? A partir disso, então, a gente pode escrever o seguinte:

A →   +   B → ∙ A →   +   B → = 10 4 ∙ A → -   B → ∙ A → -   B →

Pela propriedade distributiva que se aplica também aos vetores, vamos abrir esses parênteses executando o produto entre eles, assim:

A →   +   B → ∙ A →   +   B → = 10 4 ∙ A → -   B → ∙ A → -   B →

A → ∙ A → + 2 ∙ A → ∙ B → + B → ∙ B → = 10 4 ∙ A → ∙ A → - 2 ∙ A → ∙ B → + B → ∙ B →

E como a gente acabou de ver, vale que A → ∙ A → = A → 2 e B → ∙ B → = B → 2 . Vamos escrever isso então:

A → 2 + 2 ∙ A → ∙ B → + B → 2 = 10 4 ∙ A → 2 - 2 ∙ A → ∙ B → + B → 2

Passo 4

Você viu no enunciado que os módulos de A → e B → são exatamente iguais, certo? Então vamos escrever que A → = B → = x , tudo bem? Além disso, vamos aplicar a definição de produto interno vista no Passo 2 nessa última expressão também.

Reescrevemos nossa última expressão assim:

x 2 + 2 ∙ A → ∙ B → ∙ c o s c o s   θ   + x 2 = 10 4 ∙ x 2 - 2 ∙ A → ∙ B → ∙ c o s c o s   θ   + x 2

Rearrumamos assim, substituindo A → e B → novamente por x :

2 x 2 + 2 ∙ x ∙ x ∙ c o s c o s   θ   = 10 4 ∙ 2 x 2 - 2 ∙ x ∙ x ∙ c o s c o s   θ  

E vamos ter:

2 x 2 + 2 x 2 ∙ c o s c o s   θ   = 10 4 ∙ 2 x 2 - 2 x 2 ∙ c o s c o s   θ  

Passo 5

Aqui a gente ainda pode colocar o termo 2 x 2 em evidência e manejar a equação. Teremos isso aqui:

2 x 2 ∙ 1 + c o s c o s   θ   = 10 4 ∙ 2 x 2 ∙ 1 - c o s c o s   θ  

Vamos agora cortar os termos em comum dos dois lados da igualdade, resultando na seguinte expressão:

1 + c o s c o s   θ   = 10 4 ∙ 1 - c o s c o s   θ  

Abrimos o produto do lado direito da igualdade:

1 + c o s c o s   θ   = 10 4 - 10 4 ∙ c o s c o s   θ  

Vamos juntar os termos em comum:

c o s c o s   θ   + 10 4 ∙ c o s c o s   θ   = 10 4 - 1

Passo 6

Bom, como 10 4 ≫ 1 , vamos nos dar ao luxo de considerar desprezíveis as parcelas c o s c o s   θ   e 1 na última equação pra facilitar nosso cálculo. Nisso, chegamos à seguinte expressão:

10 4 ∙ c o s c o s   θ   = 10 4

Daí cortamos o termo em comum, tendo:

c o s c o s   θ   = 1

E concluímos que θ , o ângulo entre os vetores A → e B → pode valer, em radianos, θ = 0 ;   2 π ; 4 π , etc.

Resposta

θ = 0 ;   2 π ; 4 π ; …

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um vetor d → tem um módulo de 3,0m e aponta para o sul. Determine (a) o módulo e (b) a orientação do vetor 5,0 d → . Determine (c) o módulo e (d) a orientação do vetor - 2,0 d → .
Considere um vetor a → no sentido positivo do eixo x , um vetor b → no sentido positivo do eixo y e um escalar d . Qual é a orientação de b → / d se d é (a) positivo e (b) negativo? Qual é o mnódulo d
Para os vetores da Fig. 3 .32, com a=4 , b=3 e c=5 , calcule (a) a → · b → , (b) a → · c → e (c) b → . c →
Digamos que N ^ represente a direção horizontalmente norte, N E ^ represente nordeste (na metade entre o norte e o leste), e assim por diante. Cada especificação de direção pode ser pensada como um ve