Enunciado

67 . Duas forças constantes agem sobre um corpo de massa m   =   5,00   k g movendo-se no plano x y como mostrado na Figura P6.67. A força   F 1 → é 25,0   N a 35,0 ° , e a força   F 2 →   é 42,0   N a 150 ° . No momento   t   =   0 , o corpo está na origem e tem velocidade ( 4,00 i ^   +   2,50 j ^ )   m / s .

  1. Expresse as duas forças em notação de vetor unitário. Use a notação de vetor unitário para suas outras respostas.
  2. Encontre a força total exercida sobre o corpo.
  3. Encontre a aceleração do corpo. Agora, considerando o instante t   =   3,00   s , encontre
  4. a velocidade do corpo,
  5. sua posição,
  6. sua energia cinética a partir de 1 2 m v f 2 e
  7. sua energia cinética a partir de 1 2 m v i 2   +   ∑ F → ∙ ∆ r → .
  8. Que conclusão você pode tirar, comparando as respostas para as partes (f) e (g)?

Passo 1

Nesse exercício vamos usar equações e conceitos que estamos nos acostumando.

Embora esse exercício tenha muitos itens você não precisa se desesperar pois sei que vai tirar de letra porque vamos fazer passo-a-passo e com bastante detalhe.

Tudo certo? Então bora lá!

Passo 2

a ) Sabemos que:

F = F cos ⁡ θ   i ^ + F sin ⁡ θ   j ^

Então:

F 1 → = 25,0 cos ⁡   35,0 °   i ^ + 25,0 sin ⁡   35,0 °   j ^ = 20,5   i ^ + 14,3   j ^ N

F 2 → = 42,0 cos ⁡   15 0 °   i ^ + 42,0 sin ⁡   15 0 °   j ^ = - 36,4 i ^ + 21,0 j ^ N

Passo 3

b ) A força total exercida pelo corpo é dada por:

F = F 1 + F 2

Isto é:

F → = 20,5   i ^ + 14,3   j ^ N + - 36,4 i ^ + 21,0 j ^ N = - 15,9 i ^ + 35,3   j ^ N

Passo 4

c ) Esse item pede a aceleração e podemos encontrá-la facilmente a partir da segunda lei de Newton:

F = m a     ⇒     a = F m = - 15,9 i ^ + 35,3   j ^ N 5,0   k g = - 3,18   i ^ + 7,06   j ^ m / s 2

Passo 5

d ) Tendo a aceleração a velocidade também é bem tranquila de encontrar.

v f → = v i → + a → t

Substituindo os valores que já achamos e os valores que o enunciado nos dar:

v f → = ( 4,00 i ^   +   2,50 j ^ )   m / s   + - 3,18   i ^ + 7,06   j ^ m / s 2 ⋅ ( 3   s )

= ( 4,00 i ^   +   2,50 j ^ )   m / s + - 9,54   i ^ + 21,18   j ^ m / s = - 5 , 54   i ^ + 2 3 , 6 8   j ^ m / s

Passo 6

e ) Vamos usar outra equação da cinemática já muito conhecida por nós:

r f → = r i → + v i → t + 1 2 a → t ² = ( 4,00 i ^   +   2,50 j ^ )   m / s ⋅ ( 3 s ) + 1 2 - 3,18   i ^ + 7,06   j ^ m / s 2 ⋅ ( 3   s ) ² =

= 12 , 00 i ^   +   7 , 50 j ^ m + - 14,31   i ^ + 31,77   j ^ m = - 2 , 31   i ^ + 39,27   j ^ m                                          

Passo 7

f ) O enunciado pede a energia cinética a partir de 1 2 m v f 2 , ou seja:

K = 1 2 ⋅ 5   k g ⋅ - 5,54   i ^ + 23,68   j ^ m / s 2 = 1 2 ⋅ 5   k g ⋅ 591,43   m 2 / s ² = 1478   J   ~   1,48   k J

Passo 8

g ) Agora queremos a energia cinética a partir de de 1 2 m v i 2   +   ∑ F → ∙ ∆ r →

K = 1 2 ⋅ 5   k g ⋅ [ ( 4,00 i ^   +   2,50 j ^ )   m / s ] ²   + ∑ - 15,9 i ^ + 35,3   j ^ N ⋅ - 2 , 31   i ^ + 39,27   j ^ m

= 55,62   J + 36,73   J + 1386,23   J = 1478   J   ~   1,48   k J                                                                                                                      

Passo 9

h ) A energia cinética em f )   e g ) são iguais, isso significa que o teorema de trabalho-energia cinética é consistente com a Segunda Lei de Newton

Resposta

a )

F 1 → = 20,5   i ^ + 14,3   j ^ N

F 2 → = - 36,4 i ^ + 21,0 j ^ N

b )

F → = - 15,9 i ^ + 35,3   j ^ N

c )

a = - 3,18   i ^ + 7,06   j ^ m / s 2

d ) v f → = - 5,54   i ^ + 23,68   j ^ m / s

e )

r f → = - 2 , 31   i ^ + 39,27   j ^ m

f )

K ~   1,48   k J

g )

K ~   1,48   k J

h )

O teorema de trabalho-energia cinética é consistente com a Segunda Lei de Newton

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