Enunciado

68 . Uma partícula de massa m = 1,18   k g é presa entre duas molas idênticas sobre um tampo de mesa horizontal, sem atrito. Ambas as molas têm constante elástica k e estão inicialmente não distendidas e a partícula está em x = 0 . ( a ) A partícula é puxada a uma distância x ao longo de uma direção perpendicular à configuração inicial das molas, como mostrado na Figura P 6.68 . Mostre que a força exercida pelas molas sobre a partícula é

F → = - 2 k x 1 - L x 2 + L 2 i ^

( b ) Mostre que a energia potencial do sistema é

U x = k x 2 + 2 k L L - x 2 + L 2

( c ) Trace um gráfico de U ( x ) por x e identifique todos os pontos de equilíbrio. Considere L = 1,20   m e k = 40,0   N / m . ( d ) Se a partícula for puxada 0,500   m para a direita e depois solta, qual será sua velocidade escalar quando ela atingir x = 0 ?

Passo 1

Vamos juntos resolver esse problema!

Vamos analisar cada item separadamente para a gente não se embolar. Vamos começar com o item ( a ) .

A força elástica é dada por:

F = k Δ x

A diferença Δ x vai ser dado pelo comprimento final da mola dado por x 2 + L 2 menos o comprimento inicial, então:

Δ x = x 2 + L 2 - L

Então para uma das molas temos:

F = k x 2 + L 2 - L

Considerando as duas forças, temos:

F = 2 k x 2 + L 2 - L

Agora projetando essa força na direção x teremos que multiplicar por cos ⁡ θ e como ela aponta para o sentido negativo, a gente tem que:

F → = - 2 k x 2 + L 2 - L cos ⁡ θ i ^

Olhando a figura podemos expressar o cosseno da seguinte forma:

cos ⁡ θ = x x 2 + L 2

Então a gente encontra:

F → = - 2 k x 2 + L 2 - L x x 2 + L 2 i ^

⇒ F → = - 2 k x 1 - L x 2 + L 2 i ^

Passo 2

Agora vamos para o item ( b ) .

Para encontrar a energia potencial vamos usar o fato de que:

U = - ∫ F → ⋅ d r →

Usando a expressão que encontramos para F → e usando o fato de que d r → = d x , assim:

U = - ∫ 0 x - 2 k x   d x - ∫ 0 x 2 k x L x 2 + L 2   d x

= 2 k x 2 2 - 2 k L x 2 + L 2 - L

Assim temos que:

U = k x 2 + 2 k L L - x 2 + L 2

Passo 3

Vamos para o item ( c ) .

O gráfico de U ( x ) é mostrado abaixo.

Passo 4

Vamos para o item ( d ) .

Vamos pegar a equação U ( x ) e fazer x = 0,5   m , assim:

U = ( 40 ) 0,5 2 + 2 ( 40 ) ( 1,2 ) 1,2 - ( 0,5 ) 2 + ( 1,2 ) 2

= 10 + 96 1,2 - 1,69

Assim temos que:

U = 0,4   J

Com isso podemos usar a conservação de energia, assim:

1 2 m v 2 = 0,4

⇒ v 2 = 0,8 m

⇒ v = 0,8 m

Usando a massa que o enunciado nos deu, temos:

v = 0,8 1,18 = 0,82   m / s

Finalmente terminamos esse problema.

Resposta

( a )

Explicado acima.

( b )

Explicado acima.

( c )

( d )

v = 0,82   m / s

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