Enunciado

A função energia potencial para um sistema de partículas é determinada por U ( x )   =   – x 3     + 2 x   2 +   3 x , em que x é a posição de uma partícula no sistema. 

a.Determine a força F x sobre a partícula como uma função de x .

b.Para quais valores de x a força é igual a zero?

c.Trace U ( x ) por x e F x por x e indique pontos de equilíbrio estável e instável.

Passo 1

a.Amores, do teorema Força x Energia Potencial, a gente tem essa relaçãozinha aqui:

F = - d U d x

Onde U representa a energia potencial e x a posição da(s) partícula(s) envolvida(s), blz?

Nisso, basta a gente derivar a funçãozinha U ( x ) pra encontrar uma expressão pra força F x em função de x , tudo bem?

A gente vai ter:

∴ F x = - U ' x = 3 x 2 - 4 x - 3

Passo 2

b.Pra saber esses valores, basta a gente igualar a expressão pra F x a zero, resolvendo uma equaçãozinha de segundo grau básica, fechou?

Com isso, a gente vai ter:

3 x 2 - 4 x - 3 = 0

Agora é só jogar em bhaskara e a gente resolve, assim:

x = - ( - 4 ) ± ( - 4 ) 2 - 4 ∙ 3 ∙ ( - 3 ) 2 ∙ 3

x = 4 ± 16 + 36 6 = 4 ± 52 6

x 1 = 4 + 52 6 ≅ 1,87

x 2 = 4 - 52 6 ≅ - 0,54

Essas vão ser as posições das partículas pra força nula. Sendo a força dada em newtons, essas posições são dadas em metros, tudo bem?

Passo 3

c.Temos pra U ( x ) e F ( x ) respectivamente:

Os pontos de equilíbrio a gente observa pelo gráfico de U ( x ) . Eles vão ser sempre os pontos de máximo e de mínimo que a função apresentar.

Como faz pra, a partir da função, determinar esses pontos mesmo?

Bom, isso a gente acabou de fazer no Passo 2, que foi por derivar a função original e determinar os pontos em que a derivada se anulava. Assim, os pontos de equilíbrio são justamente:

x 1 ≅ 1,87 e x 2 ≅ - 0,54

Tá, mas qual é o estável e qual o instável?

A regrinha é que os pontos de mínimo, por serem “poços” de energia potencial, são pontos de equilíbrio estável, uma vez que qualquer perturbação feita na partícula vai fazer ela retornar à posição x de mínimo de energia potencial.

Já os pontos de equilíbrio instáveis são pontos de máximo. A partícula na posição x de máximo, por mais que estando estável, sofrendo qualquer perturbação, vai rapidamente mudar de posição, pra uma mais estável ainda.

Com isso, a gente verifica que x 2 ≅ - 0,54 é ponto de equilíbrio estável e x 1 ≅ 1,87 é ponto de equilíbrio instável, certinho?

Resposta

a. ∴ F x = - U ' x = 3 x 2 - 4 x - 3

b. x 1 ≅ 1,87 e x 2 ≅ - 0,54

c.Vide Passo 3.

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