Enunciado

Considere os três corpos conectados, mostrados na Figura P5.43. Assuma primeiro que o plano inclinado não tem atrito e que o sistema está em equilíbrio. Em termos de m , g e θ , encontre

a massa M e

as tensões T 1 e T 2 .

Agora, assuma que o valor de M é o dobro do encontrado na parte (a). Encontre

a aceleração de cada corpo e

as tensões T 1 e T 2 .

Em seguida, assuma que o coeficiente de atrito estático entre m e 2 m e o plano inclinado é μ s , e que o sistema está em equilíbrio. Encontre

o valor máximo de M e

seu valor mínimo.

Compare os valores de T 2 quando M tem seus valores mínimos e máximos.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo e bora!

Aplicando a segunda lei de Newton a cada objeto, temos:

T 1 = f 1 + 2 m gsin ⁡ θ + a                                     ( 1 ) T 2 - T 1 = f 2 + m gsin ⁡ θ + a                     ( 2 ) T 2 = M g - a                                                                             ( 3 )

Passo 2

Letras a e b:

Assumindo que o sistema está em equilíbrio (a = 0) e que a inclinação é sem atrito, f 1 =   f 2 = 0 as equações reduzem a:

T 1 = 2 m g sin ⁡ θ                   ( 1 ' ) T 2 - T 1 = m g sin ⁡ θ         ( 2 ' ) T 2 = M g                                                 ( 3 ' )

Substituindo [1'] e [3'] na equação [2'], temos:

M = 3 m s i n ⁡ θ

Então a equação (3') torna-se:

T 2 = 3 m g sin ⁡ θ

Passo 3

Letras c e d:

M = 6 m s i n ⁡ θ (o dobro do valor encontrado acima), e f 1 = f 2 = 0 . Com essas condições presentes, as equações tornam-se:

T 1 = 2 m gsin ⁡ θ + a

T 2 - T 1 = m gsin ⁡ θ + a

T 2 = 6 m sin ⁡ θ g - a

Resolvidos simultaneamente, temos:

a = gsin ⁡ θ 1 + 2 sin ⁡ θ

T 1 = 4 m g sin ⁡ θ 1 + sin ⁡ θ 1 + 2 sin ⁡ θ

T 2 = 6 m g s i n ⁡ θ 1 + s i n ⁡ θ 1 + 2 s i n ⁡ θ

Passo 4

Letra e:

Equilíbrio (a = 0) e movimento iminente subindo a inclinação, então M = M m a x enquanto f 1 = 2 μ s m g c o s ⁡ θ e f 2 = μ s m g c o s ⁡ θ , ambos direcionados para baixo na inclinação.

Nessas condições, as equações se tornam:

T 1 = 2 m g sin ⁡ θ + μ s cos ⁡ θ

T 2 - T 1 = m g sin ⁡ θ + μ s cos ⁡ θ

T 2 = M m a x g

Que nos dá:

M m a x = 3 m sin ⁡ θ + μ s cos ⁡ θ

Passo 5

Letra f:

Equilíbrio (a = 0) e movimento iminente descendo a inclinação, então M = M m i n enquanto f 1 = 2 μ s m g c o s ⁡ θ   e   f 2 = μ s m g c o s ⁡ θ , ambos direcionados para cima na inclinação.

Nessas condições, as equações se tornam:

T 1 = 2 m g sin ⁡ θ - μ s cos ⁡ θ

T 2 - T 1 = m g sin ⁡ θ - μ s cos ⁡ θ

T 2 = M m i n g

Que nos dá:

M m i n = 3 m sin ⁡ θ - μ s cos ⁡ θ

Quando essa expressão dá um valor negativo, isso corresponde fisicamente a uma massa M pendurada em uma corda sobre uma polia na extremidade inferior da inclinação.

Passo 6

Letra g:

T 2 , m a x - T 2 , m i n = M m a x g - M m i n g = 6 μ s mgcos ⁡ θ

Resposta

  1. M = 3 m sin ⁡ θ
  2. T 1 = 2 m g sin ⁡ θ ,   T 2 = 3 m g sin ⁡ θ
  3. a = gsin ⁡ θ 1 + 2 sin ⁡ θ
  4. T 1 = 4 m g sin ⁡ θ 1 + sin ⁡ θ 1 + 2 sin ⁡ θ ,     T 2 = 6 m g s i n ⁡ θ 1 + s i n ⁡ θ 1 + 2 s i n ⁡ θ
  5. M m a x = 3 m sin ⁡ θ + μ s cos ⁡ θ
  6. M m i n = 3 m sin ⁡ θ - μ s cos ⁡ θ
  7. 6 μ s mgcos ⁡ θ
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