Enunciado

Um projétil é disparado com uma velocidade inicial v 0 = 30,0   m / s , a partir do solo, com o objetivo de atingir um alvo que está no solo a uma distância R = 20,0   m , como mostra a figura. Quais são (a) o menor e (b) o maior ângulo de lançamento que permitem que o projétil atinja o alvo?

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para o alcance horizontal R :

R = v 0 2 g sen ⁡ 2 θ

Queremos encontrar os valores possíveis de θ sabendo que R = 20,0   m e v 0 = 30,0   m / s :

20,0 = 30,0 2 9,8 sen ⁡ 2 θ

sen ⁡ 2 θ = 20,0 9,8 30,0 2

sen ⁡ 2 θ = 0,218

Passo 2

Agora vamos procurar as soluções dessa equação. Mas antes vamos fazer uma substituição:

α = 2 θ

sen ⁡ α = 0,218

α = arcsen ⁡ 0,218 = 12,6 °

Mas existe outra solução para essa equação. Isso acontece porque você sempre tem pelo menos dois valores com o mesmo seno no intervalo de 0 ° a 180 ° :

sen ⁡ α = sen ⁡ 180 ° - α

Então a outra solução para α será:

α = 180 ° - 12,6 ° = 167,4 °

Passo 3

Agora vamos procurar as soluções dessa equação. Mas antes vamos fazer uma

Beleza, agora para encontrar os valores correspondentes para θ , é só dividir essas soluções por 2 .

O menor valor possível será:

θ 1 = 12,6 ° 2 = 6,3 °

E o maior será:

θ 2 = 167,4 ° 2 = 83,7 °

Resposta

(a) O menor ângulo possível é θ = 6,3 ° .

(b) O maior valor possível é θ = 83,7 ° .

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