Enunciado

52 . ( a ) Mostre que a taxa de variação da aceleração de queda livre com a posição vertical próximo à superfície da Terra é d g d r = - 2 G M T R T 3 . Essa taxa de variação com a posição é chamada gradiente. ( b ) Supondo que h seja pequena em comparação com o raio da Terra, mostre que a diferença na aceleração de queda livre entre dois pontos separados pela distância vertical h é ∆ g = 2 G M T h R T 3 . ( c ) Avalie essa diferença para h = 6,00   m , uma altura típica de um prédio de dois andares.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa juntos!

Para mostrar o que o item ( a ) pede, vamos pegar a equação que fornece a gravidade, dada por:

g = G M r 2

E derivar em relação a r e como estaremos próximo a superfície da Terra, vamos avaliar esse r em R T .

E com o que vamos mostrar em ( a ) vamos usar para o item ( b ) e ( c ) .

Passo 2

Indo direto para o item ( a ) , temos:

g = G M r 2 = G M r - 2

Derivando g com relação a r , temos:

d g d r = - 2 G M r - 3 = - 2 G M r 3

Avaliando próximo a superfície da Terra, teremos:

d g d r = - 2 G M R T 3

Chegamos no que ele queria!

Passo 3

Agora para o item ( b ) vamos pegar o que encontramos em ( a ) , mas para diferenças finitas e não infinitesimais, temos:

Δ g Δ r = - 2 G M R T 3

Tomando o módulo:

Δ g Δ r = 2 G M R T 3

Agora considerando que Δ r = h que é a separação entre os pontos, temos:

Δ g h = 2 G M R T 3

⇒ Δ g = 2 G M h R T 3

Cegamos de novo onde o enunciado queria!

Passo 4

Agora por último o item ( c ) . Temos que pegar o que encontramos em ( b ) e aplicar os valores que temos. Assim:

Δ g = 2 ( 6,67 × 10 - 11 ) ( 5,97 × 10 24 ) ( 6 ) 6,37 × 10 6 3

= 4,78 × 10 15 2,58 × 10 20

Assim temos que:

Δ g = 1,85 × 10 - 5   m / s 2

Questão finalizada!

Resposta

( a )

Demonstrado acima.

( b )

Demonstrado acima.

( c )

Δ g = 1,85 × 10 - 5   m / s 2

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