Enunciado

57 . Dois planetas hipotéticos de massas m 1 e m 2 e raios r 1 e r 2 , respectivamente, estão quase em repouso quando separados por uma distância infinita. Por causa de sua atração gravitacional, eles se dirigem um ao outro em rota de colisão. ( a ) Quando a separação de centro a centro é d , encontre expressões para a velocidade de cada planeta e sua velocidade relativa. ( b ) Encontre a energia cinética de cada planeta pouco antes de colidir, tendo m 1 = 2,00 × 10 24   k g , m 2 = 8,00 × 10 24   k g , r 1 = 3,00 × 10 6   m e r 2 = 5,00 × 10 6   m . Observação: Tanto a energia quanto o impulso do sistema isolado de dois planetas são constantes.

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Na situação descrita pelo enunciado o momento total do sistema tem que ser conservado, já que não temos nenhuma influência externa, assim:

P i = P f

O momento total inicial é zero, já que as partículas estão em repouso e vãos considerar o momento final no ponto onde eles estão separados por d então:

0 = m 1 v 1 - m 2 v 2

⇒ m 1 v 1 = m 2 v 2

v 2 = m 1 m 2 v 1

O sinal de negativo é por conta de eles terem sentidos opostos.

Para encontrar expressões para essas velocidades vamos usar ao nosso favor outra grandeza que é conservada, a energia total do sistema.

Inicialmente a energia total era zero, pois os planetas estavam em repousos e muito distantes, em um estante onde a separação deles é d eles já têm energia cinética e potencial, assim:

0 = 1 2 m v 1 2 + 1 2 m v 2 2 - G m 1 m 2 d

A partir dessas duas expressões vamos encontrar algo para v 1 e v 2 .

Tendo essas velocidades fica mais tranquilo encontrar as energias cinéticas de cada planeta ates de colidir, já que poderemos dizer que d = r 1 + r 2 , a distância de centro a centro é igual a soma dos raios deles.

Vamos nessa!

Passo 2

Temos o seguinte então:

1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 - G m 1 m 2 d = 0

Substituindo a expressão que encontramos para v 2 , temos:

1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 m 1 m 2 v 1 2 - G m 1 m 2 d = 0

⇒ 1 2 v 1 2 m 1 1 + m 1 m 2 - G m 1 m 2 d = 0

v 1 2 = 2 G m 2 d 1 + m 1 m 2

Assim temos que:

v 1 = 2 G m 2 d 1 + m 1 m 2

Passo 3

Agora como temos v 1 podemos achar v 2 , já que:

v 2 = m 1 m 2 v 1

Assim:

v 2 = m 1 m 2 2 G m 2 d 1 + m 1 m 2

⇒ v 2 = 2 G m 1 2 d m 2 + m 1

Passo 4

Agora por último a velocidade relativa vai ser dada por:

v r e l = v 1 + v 2

Assim:

v r e l = 2 G m 2 d 1 + m 1 m 2 + 2 G m 1 2 d m 2 + m 1

= ( m 1 + m 2 ) 2 G d m 2 + m 1

⇒ v r e l = 2 G m 2 + m 1 d

Passo 5

Agora vamos calcular a energia cinética de cada planeta pedida ( b ) .

Vamos começar com o planeta 1 , temos:

K 1 = 1 2 m 1 v 1 2

⇒ K 1 = 1 2 m 1 2 G m 2 d 1 + m 1 m 2

Usando que d = r 1 + r 2 , temos:

K 1 = G m 2 m 1 ( r 1 + r 2 ) 1 + m 1 m 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

K 1 = ( 6,674 × 10 - 11 ) ( 8 × 10 24 ) ( 2 × 10 24 ) ( 3 × 10 6 + 5 × 10 6 ) 1 + 2 × 10 24 8 × 10 24

= 1,07 × 10 39 10 7

⇒ K 1 = 1,07 × 10 32   J

Passo 6

Vamos para o planeta 2 , temos:

K 2 = 1 2 m 2 v 2 2

⇒ K 2 = 1 2 m 2 2 G m 1 2 d m 2 + m 1

Usando que d = r 1 + r 2 , temos:

K 2 = G m 2 m 1 2 ( r 1 + r 2 ) m 2 + m 1

Substituindo os valores conhecidos, temos:

K 2 = 6,674 × 10 - 11 8 × 10 24 2 × 10 24 2 ( 3 × 10 6 + 5 × 10 6 ) 8 × 10 24 + 2 × 10 24

= 2,14 × 10 6 3 8 × 10 31

⇒ K 2 = 2,6 7 × 10 3 1   J

Prontinho, finalizamos com sucesso!

Resposta

( a )

v 1 = 2 G m 2 d 1 + m 1 m 2

v 2 = 2 G m 1 2 d m 2 + m 1

v r e l = 2 G m 2 + m 1 d

( b )

K 1 = 1,07 × 10 32   J

K 2 = 2,67 × 10 31   J

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