Enunciado

Um pirata enterrou seu tesouro em uma ilha com cinco árvores localizadas nos pontos ( 30,0   m ,   – 20,0   m ) , ( 60,0   m ,   80,0   m ) , ( – 10,0   m ,   – 10,0   m ) , ( 40,0   m ,   – 30,0   m ) e ( – 70,0   m ,   60,0   m ) , todos medidos em relação a uma origem na Figura P1.69. O registro do seu navio instrui a começar pela árvore A e se mover em direção à árvore B, mas percorrer apenas metade da distância entre A e B. Então, mova-se em direção à árvore C, cobrindo um terço da distância entre sua localização atual e C. Em seguida, mova-se para a árvore para D, cobrindo um quarto da distância entre onde ele está e D. Por fim, mova-se para a árvore E, cobrindo um quinto da distância entre ele e E, pare e cave.

a) Considere que você determinou corretamente a ordem na qual o pirata identificou as árvores como A, B, C, D e E como mostrado na Figura. Quais são as coordenadas do ponto onde ele enterrou o tesouro?

b) E se? E se você realmente não souber a maneira como o pirata identificou as árvores? O que aconteceria com a resposta se você rearranjasse a ordem das árvores, por exemplo, para B ( 30   m ,   – 20   m ) , A ( 60   m ,   80   m ) , E ( – 10   m ,   – 10   m ) , C ( 40   m ,   – 30   m ) e D ( – 70   m ,   60   m ) ? Indique o raciocínio para mostrar que a resposta não depende da ordem na qual as árvores foram identificadas.

Passo 1

E aiii gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer mais uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Letra a:

Começa no ponto A:

r → 1 = r → A = ( 30.0 i ^ - 20.0 j ^ ) m

O deslocamento até B é:

r → B - r → A = 60.0 i ^ + 80.0 j ^ - 30.0 i ^ + 20.0 j ^ = 30.0 i ^ + 100 j ^

Você cobre a metade disso, ( 15.0 i ^ + 50.0 j ^ ) para mover para:

r → 2 = 30.0 i ^ - 20.0 j ^ + 15.0 i ^ + 50.0 j ^ = 45.0 i ^ + 30.0 j ^

Passo 2

Agora, o deslocamento de sua posição atual para C é:

r → C - r → 2 = - 10.0 i ^ - 10.0 j ^ - 45.0 i ^ - 30.0 j ^ = - 55.0 i ^ - 40.0 j ^

Você cobre um terço, movendo-se para:

r → 3 = r → 2 + Δ r → 23 = 45.0 i ^ + 30.0 j ^ + 1 3 - 55.0 i ^ - 40.0 j ^ = 26.7 i ^ + 16.7 j ^

O deslocamento de onde você está para D é:

r → D - r → 3 = 40.0 i ^ - 30.0 j ^ - 26.7 i ^ - 16.7 j ^ = 13.3 i ^ - 46.7 j ^

Você atravessa um quarto dele, movendo-se para:

r → 4 = r → 3 + 1 4 r → D - r → 3 = 26.7 i ^ + 16.7 j ^ + 1 4 ( 13.3 i ^ - 46.7 j ^ ) = 30.0 i ^ + 5.00 j ^

O deslocamento de sua nova localização para E é:

r → E - r → 4 = - 70.0 i ^ + 60.0 j ^ - 30.0 i ^ - 5.00 j ^ = - 100 i ^ + 55.0 j ^

dos quais você cobre um quinto da distância,   - 20.0 i ^ + 11.0 j ^ , se movendo para:

r → 4 + Δ r → 45 = 30.0 i ^ + 5.00 j ^ - 20.0 i ^ + 11.0 j ^ = 10.0 i ^ + 16.0 j ^

O tesouro está em   ( 10.0 m , 16.0 m ) .

Passo 3

Letra b:

Seguir as instruções leva você à posição média das árvores. As etapas que seguimos numericamente na parte (a) levam você a:

r → A + 1 2 r → B - r → A = r → A + r → B 2

E depois,

r → A + r → B 2 + r → C - r → A + r → B 2 3 = r → A + r → B + r → C 3

E depois,

r → A + r → B + r → C 3 + r → D - r → A + r → B + r → C 3 4 = r → A + r → B + r → C + r → D 4

E por fim,

r → A + r → B + r → C + r → D 4 + r → E - r → A + r → B + r → C + r → D / 4 5 = r → A + r → B + r → C + r → D + r → E 5

Esse centro de massa da distribuição da árvore é o mesmo local seja qual for a ordem em que pegamos as árvores.

Resposta

  1. O tesouro está em   ( 10.0 m , 16.0 m ) .
  2. r → A + r → B + r → C + r → D + r → E 5
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