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Exercícios Resolvidos de Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade

Enunciado

Física - Príncipios de física - Serway - Princípios De Física: Mecânica Clássica e Relatividade - 9.Problemas - 43

O sistema de posicionamento global via satélite (GPS) move-se numa órbita circular com um período de 11 h   58 . (a) Determine o raio da sua órbita. (b) Determine sua velocidade. (c) O sinal de GPS não militar é emitido a uma frequência de 1   575,42   M H z no referencial do satélite. Quando é recebido na superfície da Terra por um receptor GPS (Fig. P9.43), qual é a fração de mudança nessa frequência em função da dilatação do tempo conforme descrito pela teoria da relatividade especial? (d) O deslocamento gravitacional da frequência para o azul (blueshift) segundo a teoria geral da relatividade é um efeito separado. Tem esse nome de mudança para o azul para indicar a mudança para uma frequência mais alta. A intensidade desta mudança fracional é fornecida por ∆ f f = ∆ U g m c 2 em que U g é a mudança na energia potencial gravitacional do sistema Terra-corpo quando o corpo de massa m é movido entre dois pontos onde há sinal. Calcule essa fração na mudança da frequência por causa da mudança na posição do satélite desde a superfície da Terra para sua posição orbital. (e) Qual é a fração na mudança geral na frequência causada tanto pela dilatação do tempo como à mudança gravitacional para o azul?

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Letra a:

Para o satélite ∑ F = m a : G M E m r 2 = m v 2 r = m r 2 π r T 2 :

G M E T 2 = 4 π 2 r 3 r = G M E T 2 4 π 2 1 3 r = 6.67 × 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 5.98 × 10 24 k g ( 43080 s ) 2 4 π 2 1 3 = 2.66 × 10 7 m

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Passo 2

Letra b:

v = 2 π r T = 2 π 2.66 × 10 7 m 43080 s = 3.87 × 10 3 m s

Passo 3

Letra c:

Da relação de frequência e período:

f = 1 T → d f = - d T T 2 = - f d T T → d f f = - d T T

Vemos que a diminuição fracionária na frequência é igual em magnitude à variação fracionária no período.

A pequena diminuição fracionária na frequência recebida é igual em magnitude para o aumento fracionário no período do movimento oscilador devido à dilatação do tempo:

d f f = - d T T = - γ Δ t P - Δ t p Δ t p = - ( γ - 1 ) = - 1 1 - ( v / c ) 2 - 1 = 1 - 1 1 - ( v / c ) 2 ≈ 1 - 1 + 1 2 v c 2 = - 1 2 v c 2 = - 1 2 3.87 × 10 3 m s 3.00 × 10 8 m s 2 = - 8.34 × 10 - 11

Passo 4

Letra d:

A altitude da órbita é grande em comparação com o raio da Terra, então devemos usar:

U g = - G M E m r Δ U g = - 6.67 × 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 × 5.98 × 10 24 k g m 1 2.66 × 10 7 m - 1 6.37 × 10 6 m

= 4.76 × 10 7 J k g m

Δ f f = Δ U g m c 2 = 4.76 × 10 7 J k g m m 3.00 × 10 8 m s 2 = ± 5.29 × 10 - 10

Passo 5

Letra e:

- 8.34 × 10 - 11 + 5.29 × 10 - 10 = + 4.46 × 10 - 10

Resposta

  1. 2.66 × 10 7 m
  2. 3.87 × 10 3 m s
  3. - 8.34 × 10 - 11
  4. + 5.29 × 10 - 10
  5. + 4.46 × 10 - 10

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