Enunciado

Uma plataforma giratória horizontal gira com velocidade angular ω. Há um relógio no centro da mesa giratória e um relógio idêntico montado em uma mesa giratória a uma distância r do centro. Em um referencial inercial no qual o relógio no centro está em repouso, o relógio na distância r está se movendo com velocidade u = rω. (a) Mostre que a partir da dilatação do tempo de acordo com a relatividade especial, o tempo entre os tiques, Δt0 para o relógio em repouso e ΔtR para o relógio em movimento, são relacionados por. (b) Em um referencial girando com a mesa, ambos os relógios estão em repouso. Mostre que o relógio na distância r experimenta uma pseudoforce Fr = mrω2 neste referencial rotativo e que isso é equivalente a uma diferença no potencial gravitacional entre re a origem de φr - φ0 = - 12 r2ω2. Use a diferença no potencial gravitacional dada na Parte (b) para mostrar que neste referencial a diferença nos intervalos de tempo é a mesma que no referencial inercial.

Passo 1

(a) Fala aee!! Sem muita enrolação, bora resolver logo isso!!

Da equação de dilatação do tempo, nós temos:

∆ t r = ∆ t 0 γ

E, assim:

∆ t r - ∆ t 0 ∆ t 0 = ∆ t 0 γ - ∆ t 0 ∆ t 0

∆ t r - ∆ t 0 ∆ t 0 = 1 γ - 1

Como v = ω r , r ω c ≪ 1 :

1 γ ≈ 1 - 1 2 u 2 c 2 = 1 - r 2 ω 2 2 c 2

Substituindo isso:

∆ t r - ∆ t 0 ∆ t 0 = 1 - r 2 ω 2 2 c 2 - 1

∆ t r - ∆ t 0 ∆ t 0 = - r 2 ω 2 2 c 2

Prontinho!

Passo 2

(b) A pseudoforça é dada por:

F P = - m a

Onde a é a aceleração de um referencial não inercial. Nesse caso, a representa a aceleração centrípeta:

a = - r ω 2

Assim:

F P = m r ω 2

Passo 3

Agora, para relacionar este problema à Equação 39-31, o ponto 2 é uma distância r do eixo e o ponto 1 está no eixo. O termo entre parênteses no lado direito da Equação 39-31 é φ 2 - φ 1 , que vai ser o nosso φ r - φ 0 . Como φ r está em um potencial menor que φ 0 , esse termo é negativo. Consequentemente:

ϕ r - ϕ 0 = - ∫ 0 r ω 2 r   r ^ ∙ d l →

ϕ r - ϕ 0 = - ∫ 0 r ω 2 r   d r

Integrando:

ϕ r - ϕ 0 = - r 2 ω 2 2

Passo 4

(c) Bem, da equação 39-31:

∆ t r - ∆ t 0 ∆ t 0 = 1 c 2 ϕ r - ϕ 0

Substituindo o valor ϕ r - ϕ 0 da letra anterior:

∆ t r - ∆ t 0 ∆ t 0 = 1 c 2 - r 2 ω 2 2

∆ t r - ∆ t 0 ∆ t 0 = - r 2 ω 2 2 c 2

Prontinho! Tudo provado.

Resposta

Explicação no passo a passo.

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