Enunciado

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(a) Um veículo espacial é lançado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial de v i que é comparável, porém menor que a de escape v e s c . Qual a altura máxima que ele atinge? (b) Um meteoro cai em direção à Terra. Ele está essencialmente em repouso em relação à Terra quando a uma altura h acima da superfície. Com que velocidade o meteorito (um meteoroide que sobrevive ao impacto na superfície da Terra) atinge a Terra? (c) E se? Suponha que uma bola seja jogada para cima com uma velocidade inicial que é muito pequena comparada com a de escape. Mostre que o resultado da parte (a) é coerente com a Equação 3.15 h = v i 2 s e n 2 θ i 2 g .

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Letra a:

Ignorando a resistência do ar, a conservação de energia para o sistema do disparo ao ápice é dado por:

K + U g i = K + U g f 1 2 m v i 2 - G m M T R T = 0 - G m M T R T + h

Onde 1 2 m v e s c 2 = G m M T R T . Então:

1 2 v i 2 - 1 2 v e s c 2 = - 1 2 v e s c 2 R T R T + h v e s c 2 - v i 2 = v e s c 2 R T R T + h 1 v e s c 2 - v i 2 = R T + h v e s c 2 R T

h = v e s c 2 R T v e s c 2 - v i 2 - R T = v e s c 2 R T - v e s c 2 R T + v i 2 R T v e s c 2 - v i 2 h = R T v i 2 v e s c 2 - v i 2

Passo 2

Letra b:

A queda do meteorito é a reversão do tempo do voo para cima do projétil, por isso é descrito pela mesma equação de energia.

De (a) acima, substituindo v i   por   v f , temos:

v f 2 = v e s c 2 - v e s c 2 R T R T + h v f 2 = v e s c 2 1 - R T R T + h v f = v e s c h R T + h

Passo 3

Letra c:

Com v i < < v e s c :

h ≈ R T v i 2 v e s c 2 = R T v i 2 R T 2 G M T

Mas g = G M T R T 2 ,   então   h = v i 2 2 g , em concordância com 0 2 = v i 2 + 2 ( - g ) ( h - 0 ) .

Resposta

  1. h = R T v i 2 v e s c 2 - v i 2
  2. v e s c h R T + h
  3. R T v i 2 R T 2 G M T

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