Filtros Polarizadores

Teoria Completa

Certos materiais afetam a polarização da luz

Em um filme 3D, a luz do telão sai com duas polarizações lineares em direções diferentes.

O efeito que vemos em 3D vem de como os óculos te permitem ver essas duas polarizações: uma das lentes apenas permite passar uma direção de vibração, e a outra só permite passar a segunda direção.

Outro exemplo de material que apenas permite a passagem de luz em uma direção são filtros de câmeras fotográficas.

Esses materiais que permitem a passagem apenas de luz com uma dada direção de polarização linear são chamados filtros polarizadoresou apenas polarizadores.

A direção que um polarizador permite passar é seu eixo de polarização.

Polarização Linear

A partir de agora, vamos supor que todos os polarizadoresque vamos analisar são ideais, ou seja, eles deixam passar 100 % da luz que é polarizada paralelamente ao eixo de polarização e bloqueia toda a luz que é polarizada perpendicularmente ao eixo de polarização.

Vamos começar um passo de cada vez. O que acontece quando luz não-polarizada atravessa um polarizador?

Quando uma luz não-polarizada incide sobre um polarizador ideal, a intensidade transmitida é exatamente a metade da intensidade da luz não-polarizada.

I = I 0 2

A explicação para isso é que podemos decompor o campo elétrico E 0 → em uma componente paralela ao eixo de polarização e em uma componente perpendicular ao eixo de polarização, de forma que ambas sejam aproximadamente iguais E .

O polarizador ideal deixa passar somente as componentes paralelas ao eixo de polarização, logo, metade da intensidade da luz que incide sobre o polarizador.

Dessa forma, a luz que entra vai ter módulo igual a soma vetorial dessas duas componentes (Pitágoras):

E 0 = E 2 + E 2

Assim, como apenas uma das duas passa pelo filtro e a intensidade varia com o quadrado do campo elétrico, a fração da intensidade incidente que vai ser transmitida é:

I I 0 = E 2 E 0 2 = E 2 E 2 + E 2 = E 2 2 E 2 = 1 2

I = I 0 2

Agora vamos para o segundo caso:

Luz linearmente polarizada atravessando um polarizador.

Usamos um primeiro polarizador pra podermos conseguir nossa luz linearmente polarizada.

O que nos importa é o segundo. Chamamos o segundo polarizador de analisador. Agora, a luz sofrerá duas polarizações, conforme ilustra a figura acima.

Neste caso, a intensidade da luz que emerge do analisador é dada pela Lei de Malus.

I = I m á x cos 2 ⁡ ϕ

Onde I m á x é a intensidade máxima da luz transmitida (que é igual à luz incidente naquele polarizador) e I é a intensidade transmitida para certo ângulo ϕ .

A ideia é a mesma da luz não polarizada: dividimos a luz incidente em uma componente perpendicular ao eixo de polarização do analisador e uma componente paralela

E | | = E cos ⁡ ϕ

Como a intensidade depende do quadrado do campo elétrico, nós elevamos isso ao quadrado.

I I m á x = E | | 2 E 2 = E 2 cos 2 ⁡ ϕ E 2 = cos 2 ⁡ ϕ

I = I m á x cos 2 ⁡ ( ϕ )

Polarizadores em sequência

No caso de termos vários polarizadores um depois do outro, apenas precisamos usar a Lei de Malus várias vezes seguidas.

Na nossa imagem, a intensidade que sai do polarizador 1 será:

I 1 = I 0 cos 2 ⁡ ( ϕ 1 )

Já a do polarizador 2 vai ser:

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 1 )

E para o polarizador 3:

I 3 = I 2 cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 3 )

Se juntarmos tudo:

I 3 = I 2 cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 3 ) = I 1 cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 1 ) cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 3 ) = I 0 cos 2 ⁡ ( ϕ 1 ) cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 1 ) cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 3 )

Tem dois detalhes importantes pra lembrarmos ao fazer isso.

Quando a luz atravessa um polarizador, nós temos que usar o ângulo entre a polarização da luz e o eixo de polarização.

Lembrando que a luz que emerge do filtro vibra na direção do seu eixo, o ângulo entre ela e o polarizador seguinte vai ser igual ao ângulo entre os dois eixos.

O segundo ponto importante é que a intensidade do lado direito da equação é a da luz que atinge o filtro. Note que apenas no primeiro filtro temos I 0 do lado direito, a intensidade da luz original.

A intensidade que atinge o polarizador 2 é I 1 , e a que atinge o 3 é I 2 .

Outra possibilidade é que a luz que atinge o polarizador 1 seja não polarizada. Neste caso:

I 1 = I 0 2

E essa intensidade não depende do ângulo do polarizador!

Mas o resto continua igual.

Gráficos da Rotação de Polarizadores

Como ficaria a intensidade caso fôssemos mudando esse ângulo? Bem, a resposta nós já sabemos: ela varia com o cosseno ao quadrado do ângulo!

O gráfico fica:

Desse gráfico podemos obter uma série de informações.

  • A intensidade inicial I 0 (que é o valor máximo no gráfico)
  • Sabendo I podemos ver a diferença de ângulos

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Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 27-5

A Fig. 33-30 mostra um feixe luminoso passando por um filtro polarizador cuja direção de polarização é paralela ao e i x o   y . Suponha que o filtro seja girado de 40 ° no sentido horário, mantendo-se paralelo ao plano x y .

Com a rotação, a porcentagem da luz que atravessa o filtro aumenta, diminui ou permanece constante:

  1. Se a luz incidente for não-polarizada.
  2. Se a luz incidente for polarizada paralelamente ao e i x o   x .
  3. Se a luz incidente for polarizada paralelamente ao e i x o   y .

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Passo 1

Letra a)

Neste caso a porcentagem de luz que atravessa o filtro permanece constante pois ela não depende do ângulo do polarizador quando a luz é não-polarizada. Podemos observar isso na intensidade resultante.

I = I 0 2

Passo 2

Letra b)

Como o e i x o   x é perpendicular ao e i x o   y , anteriormente nenhuma fração da luz atravessava o polarizador.

Com a rotação do filtro, a direção de polarização da luz e o eixo do polarizador deixam de ser perpendiculares, e alguma fração da luz consegue atravessar.

Então a porcentagem da luz que atravessa o filtro aumenta.

Passo 3

Letra c)

Se a luz é polarizada ao longo do e i x o   y , assim como o eixo do filtro, então toda a luz conseguia atravessar o polarizador.

Porém, ao girarmos o polarizador, a direção de polarização da luz e o eixo do filtro deixam de ser paralelos, e parte da luz começa a ser retida.

Isso significa que a porcentagem da luz que passa pelo filtro diminui.

Resposta

Letra a)

A porcentagem da luz que passa pelo filtro permanece constante.

Letra b)

A porcentagem da luz que passa pelo filtro aumenta.

Letra c)

A porcentagem da luz que passa pelo filtro diminui.

Exercício Resolvido #2

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 30-33.29

Um feixe de luz polarizada passa por um filtro polarizador.

Quando o ângulo entre o eixo de polarização do filtro e a direção de polarização da luz é θ , a intensidade do feixe emergente é I .

Se agora você deseja que a intensidade seja I / 2 , qual deve ser o ângulo (em termos de θ ) entre o eixo de polarização do filtro e a direção original da polarização da luz?

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Passo 1

O problema nos diz que quando o ângulo entre o eixo de polarização do filtro e a direção de polarização da luz é θ , a intensidade do feixe emergente é I .

Logo, sendo I 0 a intensidade da luz antes de passar pelo polarizador, temos que:

I = I 0 cos 2 ⁡ θ

Passo 2

Queremos descobrir o valor do ângulo α entre o eixo de polarização do filtro e a direção original da polarização da luz para que

I 0 cos 2 ⁡ α = I 2

Vamos começar substituindo I por I 0 cos 2 ⁡ θ .

I 0 cos 2 ⁡ α = I 0 cos 2 ⁡ θ 2

cos 2 ⁡ α = cos 2 ⁡ θ 2

cos ⁡ α = cos ⁡ θ 2

α = cos - 1 ⁡ cos ⁡ θ 2

Resposta

α = cos - 1 ⁡ cos ⁡ θ 2

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 31-38

Na praia a luz em geral é parcialmente polarizada devido às reflexões na areia e na água. Em uma certa praia, em um certo dia, no final da tarde a componente horizontal do vetor campo elétrico é 2,3 vezes maior que a componente vertical.

Um banhista fica de pé e coloca óculos polarizadores que eliminam totalmente a componente horizontal do campo elétrico.

  1. Que fração da intensidade luminosa total chega aos olhos do banhista?
  2. Ainda usando óculos, o banhista se deita de lado na areia. Que fração da intensidade luminosa total chega agora aos olhos do banhista?
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Passo 1

Letra a)

Vamos chamar a componente horizontal de E H e a componente vertical de E V .

Como a componente horizontal é 2,3 vezes maior que a vertical, E H = 2,3   E V , para sabermos a fração do campo elétrico na horizontal precisamos considerar que o campo elétrico incidente é a soma vetorial da sua componente vertical e da sua componente horizontal.

E 0 = E H 2 + E V 2

Apenas a componente vertical atinge os olhos do banhista. Isso significa que a amplitude que passa pelos óculos é E V .

A fração da intensidade luminosa total que vai chegar aos olhos do banhista vai ser:

I I 0 = E V 2 E 0 2 = E V 2 E H 2 + E V 2 = E V 2 2,3 E V 2 + E V 2 = E V 2 5,29 E V 2 + E V 2 = E V 2 6,29 E V 2

I = I 0 6,29 ≅ 0,16 I 0

Logo, 16% da intensidade total chegam aos olhos do banhista.

Passo 2

Letra b)

Quando o banhista se deita de lado, o eixo de polarização dos óculos roda 90 ° . Logo, Agora ele elimina totalmente a componente vertical do campo elétrico. Apenas a componente horizontal atinge seu olho.

Vamos então repetir o raciocínio anterior.

I I 0 = E H 2 E 0 2 = E H 2 E H 2 + E V 2 = E H 2 E H 2 + E H 2,3 2 = E H 2 5,29 E V 2 + E V 2 5,29 = 5,29 E V 2 6,29 E V 2

I = 5,29 6,29   I 0 ≅ 0,84 I 0

Temos então que 84 % da intensidade total chegam aos olhos do banhista.

Resposta

Letra a)

A fração da intensidade total que chega aos olhos do banhista é de 0,16 I 0 .

Letra b)

A fração da intensidade total que chega aos olhos do banhista é de 0,84 I 0 .

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 31-35

Na Fig. 34-43, um feixe de luz inicialmente não-polarizada atravessa três filtros polarizadores cujas direções de polarização fazem ângulos de θ 1 = 40 ° , θ 2 = 20 ° e θ 3 = 40 ° com a direção do e i x o   y .

Que porcentagem da intensidade inicial da luz é transmitida pelo conjunto?

(Sugestão: Preste atenção nos ângulos)

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Passo 1

Como já dizia Jack Estripador: Vamos por partes.

Primeiro, vejamos a intensidade I 1 que passa pelo primeiro polarizador.

Como a luz é inicialmente não-polarizada, essa intensidade vai ser:

I 1 = I 0 2

Onde I 0 é a intensidade da luz inicial.

Passo 2

A luz transmitida pelo primeiro polarizador está linearmente polarizada ao longo do eixo do filtro. Pela imagem, o ângulo entre essa direção e o eixo de polarização do segundo polarizador seria

θ = θ 1 + θ 2 = 60 °

Onde somamos os ângulos pois um gira horário e o outro anti-horário.

Isso significa que a intensidade transmitida pelo segundo polarizador vai ser:

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ θ = I 1 ∙ cos 2 ⁡ 60 ° = I 1 ∙ 1 2 2 = I 1 4

I 2 = I 1 4 = I 0 2 ∙ 1 4 = I 0 8

Passo 3

No terceiro polarizador, o ângulo entre a direção de polarização e a direção do eixo é:

θ = θ 3 + θ 2 = 60 °

Isso nos dá o mesmo resultado de antes:

I 3 = I 2 cos 2 ⁡ 60 ° = I 2   1 2 2 = I 2 4

I 3 = I 0 8 ∙ 1 4 = I 0 32

A intensidade da luz que emerge do conjunto é

I = I 0 32 = 3,125 ∙ 10 - 2 ∙ I 0

Isso significa que aproximadamente 3,1 % da intensidade inicial foi transmitida pelo conjunto.

Resposta

Aproximadamente 3,1 % da intensidade inicial foi transmitida pelo conjunto.

Exercício Resolvido #5

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 37-84

Um feixe de luz não-polarizada atravessa um conjunto de quatro filtros polarizadores orientados de tal forma que o ângulo entre as direções de polarização de filtros vizinhos é 30 ° .

Que fração da luz incidente é transmitida pelo conjunto?

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Passo 1

Quando luz não-polarizada atravessa um polarizador ela emerge com metade da intensidade com a polarização na direção do eixo de polarização. Logo:

I 1 = I 0 2

Isso significa que apenas 1 / 2 da luz incidente é transmitida.

Passo 2

A luz que é transmitida por um polarizador tem a sua polarização na direção do eixo do polarizador. Isso significa que o ângulo que a luz que sai de um polarizador faz com o polarizador seguinte é o mesmo ângulo que os eixos dos filtros fazem entre si.

Como esse ângulo é sempre de 30 ° , a intensidade será reduzida pelo mesmo fator em cada parte. Assim, temos:

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ 30 ° = I 0 2 cos 2 ⁡ 30 °

I 3 = I 2 cos 2 ⁡ 30 ° = I 0 2 cos 2 ⁡ 30 ° 2

I 4 = I 3 cos 2 ⁡ 30 ° = I 0 2 cos 2 ⁡ 30 ° 3

Logo, a fração da luz transmitida é de:

I 4 = I 0 2 cos 2 ⁡ 30 ° 3 = I 0 2 3 4 3 = 27 64 ∙ I 0 2 ≅ 0,21   I 0

Assim, a fração da luz transmitida pelo conjunto é de 0,21 .

Resposta

A fração da luz transmitida é de 0,21 .

Exercício Resolvido #6

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 30-33.25

Um feixe de luz não-polarizada de intensidade I 0 passa por uma série de filtros polarizadores ideais com suas direções de polarização orientadas em ângulos diferentes, como mostra a figura abaixo:

  1. Qual é a intensidade da luz (em termos de I 0 ) nos pontos A ,   B   e C ?
  2. Se removermos o filtro do meio, qual será a intensidade da luz no ponto C ?
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Passo 1

Se trata de um problema de polarização linear.

O problema todo se trata de um arranjo de polarizadores com ângulos de inclinação do eixo de polarização diferentes.

Tanto na letra a), quando na letra b), somos pedidos para calcular a intensidade I . Sabemos que, nesse caso a intensidade da luz após passar por dois polarizadores é dada por

I = I 0 cos 2 ⁡ ϕ

Onde ϕ é o ângulo formado pelos eixos de polarização.

Passo 2

Letra a)

Conforme dissemos anteriormente, quando uma luz não-polarizada incide sobre um polarizador ideal, a intensidade transmitida é exatamente a metade da intensidade da luz não-polarizada.

Assim, a intensidade no ponto A será:

I A = I 0 2

Agora, usando a fórmula citada no Passo 1 para descobrir a intensidade no ponto B , temos que:

I B = I A cos 2 ⁡ ϕ

Onde

ϕ = 60 ° ;

cos 2 ⁡ 60 ° = 1 / 4 ;

I A = I 0 / 2 ;

Logo:

I B = I 0 2 1 4 = I 0 8  

Seguindo o mesmo princípio:

I C = I B cos 2 ⁡ ϕ

Agora, ϕ será o ângulo formado pelos eixos de polarização do segundo e do terceiro polarizador. Assim:

ϕ = 30 ° ;

cos 2 ⁡ 30 ° = 3 / 4 ;

I B = I 0 / 8   ;

Logo:

I C = I 0 8 3 4 = 3 I o 32

Passo 3

Letra b)

Agora,

I C = I A cos 2 ⁡ ϕ

Retirando o polarizador do meio, temos que:

ϕ = 90 ° ;

cos 2 ⁡ 90 ° = 0 ;

I A = I 0 / 2 ;

Logo:

I C = 0

Resposta

Letra a)

I A = I 0 2

I B = I 0 8  

I C = 3 I o 32

Letra b)

I C = 0

Exercício Resolvido #7

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 31-39

Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores.

Em relação à direção de polarização da luz incidente as direções de polarização dos filtros são θ para o primeiro filtro e 90 ° para o segundo.

Se 10 % da intensidade incidente são transmitidos pelo conjunto, quanto vale θ ?

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Passo 1

Vamos fingir que conhecemos o ângulo θ e calcular a intensidade transmitida pelo conjunto.

Ao passar no primeiro polarizador, a intensidade fica

I 1 = I 0 cos 2 ⁡ θ

Como o segundo faz 90 ° com a direção de polarização inicial, seu ângulo com o eixo do primeiro polarizador é α = 90 ° - θ

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ ( 90 ° - θ ) = I 0 cos 2 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( 90 ° - θ )  

Pelo que enunciado nos diz, essa intensidade vai ser 10 % da inicial:

I 2 = 0,1   I 0

Juntando as duas equações:

0,1 = cos 2 ⁡ ( θ ) cos 2 ⁡ ( 90 ° - θ )

Agora, para achar o ângulo θ , precisamos resolver essa equação.

Passo 2

Inicialmente podemos tentar rearranjar o lado direito da equação. Tem uma relação trigonométrica que nos diz o seguinte:

cos ⁡ 90 ° - θ = sen ⁡ ( θ )

Substituindo:

0,1 = cos 2 ⁡ ( θ ) sen 2 ⁡ ( θ )

Daqui, tem diferentes maneiras de prosseguir pra resolver essa equação, e você pode escolher a que mais se adequar ao seu jeito.

Mas eu vou tentar seguir o caminho que me dê menos trabalho.

Para isso, vou usar mais uma relação trigonométrica:

sen ⁡ 2 θ = sen ⁡ θ + θ = sen ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) + sen ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) = 2 sen ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ )

sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ )

E podemos reescrever a equação acima.

0,1 = sen ⁡ 2 θ 2 2 = sen 2 ⁡ 2 θ 4

E agora resolver:

sen ⁡ ( 2 θ ) = 2 10 ≅ 0,632

Um dos valores para o qual vale essa equação é

2 θ ≅ 39,23 °

θ = 19,615 °

Porém, esse não é o único valor possível, pois tem outra relação trigonométrica que diz que

sen ⁡ ( 180 ° - α ) = sen ⁡ ( α )

Isso significa que obteríamos o mesmo valor para

2 θ = 180 ° - 39,23 ° = 140,77 °

θ = 70,385 °

Resposta

O ângulo θ pode valer 19,615 ° ou 70,385 ° .

Exercício Resolvido #8

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 27-4

Suponha que o segundo filtro da Fig. 33-15a seja girado a partir de uma direção de polarização paralela ao e i x o   y ( θ = 0 ), terminando com a direção de polarização alinhada com o e i x o   x ( θ = 90 ° ).

Qual das quatro curvas da Fig. 33-29 representa melhor a intensidade da luz que atravessa o sistema de três filtros em função do ângulo θ durante essa rotação?

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Passo 1

Vamos analisar uma curva de cada vez, e ver se ela poderia representar bem a intensidade transmitida pelo nosso sistema de três filtros.

Primeiro, olhemos para a curva a .

Quando a luz atravessa o primeiro polarizador, ela sai com a polarização ao longo do eixo y , e a intensidade que ela perde no segundo polarizador depende do ângulo do mesmo pela lei de Malus:

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ θ

Isso significa que a intensidade que sai do sistema deveria variar com θ , enquanto a curva a é constante para qualquer um desses ângulos.

Poderíamos pensar que talvez o terceiro filtro fizesse de alguma forma a intensidade ficar constante, mas isso é impossível, porque para θ = 0 , a luz chega no terceiro polarizador com polarização perpendicular ao seu eixo, e com isso o sistema não deixaria passar nenhuma intensidade.

Porém, a medida que vamos girando, isso deixa de ocorrer, e alguma intensidade passa. Então a curva não pode ser constante.

O mesmo argumento pode ser usado para mostrar que a curva d também não pode representar a intensidade transmitida.

Passo 2

Vamos agora visualizar a curva b . Ela não é constante, o que faz ela ser melhor candidata que a ou d (inclusive, ela tem um formato parecido com o gráfico de cos 2 ⁡ ( θ ) )

Mas nós comentamos antes que para θ = 0 , o sistema não deixa passar nenhuma intensidade. Na curva b , a intensidade é máxima para esse ângulo!

Só nos sobra a curva c , que assim como a curva b é uma boa candidata.

De fato, ela conserta o erro da curva b : a curva c dá uma intensidade zero para θ = 0 , e a intensidade máxima vem apenas depois.

Temos então que a nossa resposta é a curva c .

Resposta

A curva c é a que melhor representa a intensidade da luz que atravessa nossos 3 filtros.

Exercício Resolvido #9

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 31-36

Na Fig. 33-42 um feixe de luz não-polarizada atravessa um conjunto de dois filtros polarizadores. Os ângulos θ 1 e θ 2 das direções de polarização dos filtros são medidos no sentido anti-horário a partir do semi-eixo y positivo. (os ângulos não estão desenhados em escala na figura).

O ângulo θ 1 é fixo, mas o ângulo θ 2 pode ser ajustado. A Fig.33-44 mostra a intensidade da luz que atravessa o sistema em função de θ 2 . (A escala do eixo de intensidades não é conhecida.)

Que porcentagem da intensidade inicial da luz é transmitida pelo conjunto para θ 2 = 90 ° ?

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Passo 1

Como a luz inicial é não-polarizada, a intensidade transmitida pelo primeiro polarizador é

I 1 = I 0 2

Independente do ângulo do seu eixo de polarização.

Pela imagem, o ângulo do primeiro e do segundo filtro são medidos no mesmo sentido. Isso significa que o ângulo entre os dois eixos é:

θ = θ 2 - θ 1

A intensidade transmitida pelo conjunto vai ser:

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ ( θ ) = I 0 2 cos 2 ⁡ ( θ )

Passo 2

Agora que sabemos qual a intensidade transmitida, nós queremos compará-la com o gráfico.

Vemos que 9 unidades no eixo horizontal correspondem a 90 ° . Isso significa que cada unidade corresponde a 10 ° , e com isso vemos que para θ 2 = 160 ° , a intensidade transmitida é nula.

A intensidade ser nula implica que o eixo dos dois polarizadores são perpendiculares um ao outro. O ângulo do primeiro eixo é então θ 1 = 160 ° - 90 ° = 70 ° .

Nossa equação então fica:

I 2 = I 0 2 cos 2 ⁡ θ 2 - 70 °

Substituindo θ 2 = 90 ° teremos:

I 2 = I 0 2 cos 2 ⁡ 20 ° ≅ I 0 2 ∙ 0,883 ≅ 0,442   I 0

O conjunto transmite apenas 44,2 % da intensidade inicial.

Resposta

44,2 % da intensidade inicial é transmitida pelo conjunto.

Exercício Resolvido #10

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 31-43

Queremos fazer a direção de polarização de um feixe de luz polarizada girar de 90 ° fazendo o feixe passar por um ou mais filtros polarizadores.

  1. Qual é o número mínimo de filtros necessário?
  2. Qual é o número mínimo de filtros necessário se a intensidade da luz transmitida deve ser mais de 60 % da intensidade original?
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Passo 1

Letra a)

Se tentássemos colocar um polarizador com eixo perpendicular à direção de polarização da luz nós não teríamos luz transmitida.

Porém, se colocássemos um segundo polarizador entre a luz e o filtro inicial de forma que ele fizesse um ângulo 0 < θ < 90 ° com a direção de polarização da luz, as ondas que sairiam dele não seriam perpendiculares ao eixo do segundo polarizador, e assim nós conseguimos girar o feixe de luz em 90 ° com apenas 2 polarizadores.

O número mínimo de filtros necessário é dois.

Passo 2

Letra b)

Sabemos que a intensidade da luz que sai de um sistema composto por vários polarizadores depende do ângulo entre cada par de polarizadores consecutivos.

Se o ângulo entre esse par de filtros for θ , a intensidade da luz que sai do segundo polarizador vai ser dada pela lei de Malus.

I = I 0 cos 2 ⁡ ( θ )

Assim, quanto maior o nosso ângulo θ , menor a intensidade transmitida. Isso significa que não poderemos usar ângulos muito grandes entre eles.

Passo 3

Vamos considerar que o ângulo entre quaisquer dois polarizadores consecutivos é igual, e que temos N polarizadores. Para girarmos 90 ° , precisamos ter, em média:

θ = 90 ° N

Quando a luz passar pelo primeiro polarizador, a intensidade emergente vai ser:

I 1 = I 0 cos 2 ⁡ ( θ )

Quando ela passar pelo segundo:

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ ( θ ) = I 0 cos 2 ⁡ θ 2

Pelo terceiro:

I 3 = I 2 cos 2 ⁡ ( θ ) = I 0 cos 2 ⁡ θ 3

E por aí vai, até que ao passar pelo sistema todo, teremos:

I N = I N - 1 cos 2 ⁡ ( θ ) = I N - 2 cos 2 ⁡ θ 2 = I N - 3 cos 2 ⁡ θ 3 = … = I 0 cos 2 ⁡ θ N

I N = I 0 cos 2 N ⁡ 90 ° N

Mas o enunciado pede que:

I = I N = 0,6   I 0

Ou seja, precisamos achar o valor de N para o qual:

0,6 = cos 2 N ⁡ 90 ° N

Acontece que isso não é nem de longe uma equação fácil de resolver.

Passo 4

Embora a nossa equação não seja fácil de resolver, nós podemos forçar a barra.

Como N é o número de polarizadores, ele só pode ser um número natural 1 ,   2 ,   3 ,   …

Então, vamos testar a fórmula com vários valores de N e ver quando que chegamos lá. Se dermos sorte, o N que procuramos não vai ser um valor muito grande tipo 23 ou algo assim.

N = 1 → cos 2 ⁡ 90 ° = 0

N = 2 → cos 4 ⁡ 45 ° = 2 2 4 = 4 16 = 1 4 = 0,25

N = 3 → cos 6 ⁡ 30 ° = 3 2 6 = 27 64 ≅ 0,422

N = 4 → cos 8 ⁡ 22,5 ° ≅ 0,924 8 ≅ 0,531

N = 5 → cos 10 ⁡ 18 ° ≅ 0,951 10 ≅ 0,605

Por sorte, o nosso valor então é N = 5 !

(Não foi sorte, eu já sabia que ia ser 5 , mas porque eu fiz antes de explicar aqui como faz. Mas a primeira vez que a gente faz é na sorte mesmo)

Se usássemos ângulos que variassem, embora as contas fossem mudar um pouco, nosso resultado não iria.

Isso é porque caso colocássemos um polarizador com ângulo muito pequeno, pra perder pouca intensidade, até chegarmos a 90 ° , o próximo teria que ser muito grande e perderia muita intensidade, e vice versa.

Por isso no fim nós recairíamos em 5 polarizadores de qualquer forma. Você pode pensar em cos 2 ⁡ 90 ° N como sendo o “valor médio” da fração de intensidade transmitida. Se um polarizador transmitir mais que isso, o próximo vai ter que transmitir menos (para a luz girar 90 °