Filtros Polarizadores

Teoria Completa

Certos materiais afetam a polarização da luz

Em um filme 3D, a luz do telão sai com duas polarizações lineares em direções diferentes.

O efeito que vemos em 3D vem de como os óculos te permitem ver essas duas polarizações: uma das lentes apenas permite passar uma direção de vibração, e a outra só permite passar a segunda direção.

Outro exemplo de material que apenas permite a passagem de luz em uma direção são filtros de câmeras fotográficas.

Esses materiais que permitem a passagem apenas de luz com uma dada direção de polarização linear são chamados filtros polarizadoresou apenas polarizadores.

A direção que um polarizador permite passar é seu eixo de polarização.

Polarização Linear

A partir de agora, vamos supor que todos os polarizadoresque vamos analisar são ideais, ou seja, eles deixam passar 100 % da luz que é polarizada paralelamente ao eixo de polarização e bloqueia toda a luz que é polarizada perpendicularmente ao eixo de polarização.

Vamos começar um passo de cada vez. O que acontece quando luz não-polarizada atravessa um polarizador?

Quando uma luz não-polarizada incide sobre um polarizador ideal, a intensidade transmitida é exatamente a metade da intensidade da luz não-polarizada.

I = I 0 2

A explicação para isso é que podemos decompor o campo elétrico E 0 → em uma componente paralela ao eixo de polarização e em uma componente perpendicular ao eixo de polarização, de forma que ambas sejam aproximadamente iguais E .

O polarizador ideal deixa passar somente as componentes paralelas ao eixo de polarização, logo, metade da intensidade da luz que incide sobre o polarizador.

Dessa forma, a luz que entra vai ter módulo igual a soma vetorial dessas duas componentes (Pitágoras):

E 0 = E 2 + E 2

Assim, como apenas uma das duas passa pelo filtro e a intensidade varia com o quadrado do campo elétrico, a fração da intensidade incidente que vai ser transmitida é:

I I 0 = E 2 E 0 2 = E 2 E 2 + E 2 = E 2 2 E 2 = 1 2

I = I 0 2

Agora vamos para o segundo caso:

Luz linearmente polarizada atravessando um polarizador.

Usamos um primeiro polarizador pra podermos conseguir nossa luz linearmente polarizada.

O que nos importa é o segundo. Chamamos o segundo polarizador de analisador. Agora, a luz sofrerá duas polarizações, conforme ilustra a figura acima.

Neste caso, a intensidade da luz que emerge do analisador é dada pela Lei de Malus.

I = I m á x cos 2 ⁡ ϕ

Onde I m á x é a intensidade máxima da luz transmitida (que é igual à luz incidente naquele polarizador) e I é a intensidade transmitida para certo ângulo ϕ .

A ideia é a mesma da luz não polarizada: dividimos a luz incidente em uma componente perpendicular ao eixo de polarização do analisador e uma componente paralela

E | | = E cos ⁡ ϕ

Como a intensidade depende do quadrado do campo elétrico, nós elevamos isso ao quadrado.

I I m á x = E | | 2 E 2 = E 2 cos 2 ⁡ ϕ E 2 = cos 2 ⁡ ϕ

I = I m á x cos 2 ⁡ ( ϕ )

Polarizadores em sequência

No caso de termos vários polarizadores um depois do outro, apenas precisamos usar a Lei de Malus várias vezes seguidas.

Na nossa imagem, a intensidade que sai do polarizador 1 será:

I 1 = I 0 cos 2 ⁡ ( ϕ 1 )

Já a do polarizador 2 vai ser:

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 1 )

E para o polarizador 3:

I 3 = I 2 cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 3 )

Se juntarmos tudo:

I 3 = I 2 cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 3 ) = I 1 cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 1 ) cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 3 ) = I 0 cos 2 ⁡ ( ϕ 1 ) cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 1 ) cos 2 ⁡ ( ϕ 2 - ϕ 3 )

Tem dois detalhes importantes pra lembrarmos ao fazer isso.

Quando a luz atravessa um polarizador, nós temos que usar o ângulo entre a polarização da luz e o eixo de polarização.

Lembrando que a luz que emerge do filtro vibra na direção do seu eixo, o ângulo entre ela e o polarizador seguinte vai ser igual ao ângulo entre os dois eixos.

O segundo ponto importante é que a intensidade do lado direito da equação é a da luz que atinge o filtro. Note que apenas no primeiro filtro temos I 0 do lado direito, a intensidade da luz original.

A intensidade que atinge o polarizador 2 é I 1 , e a que atinge o 3 é I 2 .

Outra possibilidade é que a luz que atinge o polarizador 1 seja não polarizada. Neste caso:

I 1 = I 0 2

E essa intensidade não depende do ângulo do polarizador!

Mas o resto continua igual.

Gráficos da Rotação de Polarizadores

Como ficaria a intensidade caso fôssemos mudando esse ângulo? Bem, a resposta nós já sabemos: ela varia com o cosseno ao quadrado do ângulo!

O gráfico fica:

Desse gráfico podemos obter uma série de informações.

  • A intensidade inicial I 0 (que é o valor máximo no gráfico)
  • Sabendo I podemos ver a diferença de ângulos

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Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 27-5

A Fig. 33-30 mostra um feixe luminoso passando por um filtro polarizador cuja direção de polarização é paralela ao e i x o   y . Suponha que o filtro seja girado de 40 ° no sentido horário, mantendo-se paralelo ao plano x y .

Com a rotação, a porcentagem da luz que atravessa o filtro aumenta, diminui ou permanece constante:

  1. Se a luz incidente for não-polarizada.
  2. Se a luz incidente for polarizada paralelamente ao e i x o   x .
  3. Se a luz incidente for polarizada paralelamente ao e i x o   y .

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Passo 1

Letra a)

Neste caso a porcentagem de luz que atravessa o filtro permanece constante pois ela não depende do ângulo do polarizador quando a luz é não-polarizada. Podemos observar isso na intensidade resultante.

I = I 0 2

Passo 2

Letra b)

Como o e i x o   x é perpendicular ao e i x o   y , anteriormente nenhuma fração da luz atravessava o polarizador.

Com a rotação do filtro, a direção de polarização da luz e o eixo do polarizador deixam de ser perpendiculares, e alguma fração da luz consegue atravessar.

Então a porcentagem da luz que atravessa o filtro aumenta.

Passo 3

Letra c)

Se a luz é polarizada ao longo do e i x o   y , assim como o eixo do filtro, então toda a luz conseguia atravessar o polarizador.

Porém, ao girarmos o polarizador, a direção de polarização da luz e o eixo do filtro deixam de ser paralelos, e parte da luz começa a ser retida.

Isso significa que a porcentagem da luz que passa pelo filtro diminui.

Resposta

Letra a)

A porcentagem da luz que passa pelo filtro permanece constante.

Letra b)

A porcentagem da luz que passa pelo filtro aumenta.

Letra c)

A porcentagem da luz que passa pelo filtro diminui.

Exercício Resolvido #2

Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 30-33.29

Um feixe de luz polarizada passa por um filtro polarizador.

Quando o ângulo entre o eixo de polarização do filtro e a direção de polarização da luz é θ , a intensidade do feixe emergente é I .

Se agora você deseja que a intensidade seja I / 2 , qual deve ser o ângulo (em termos de θ ) entre o eixo de polarização do filtro e a direção original da polarização da luz?

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Passo 1

O problema nos diz que quando o ângulo entre o eixo de polarização do filtro e a direção de polarização da luz é θ , a intensidade do feixe emergente é I .

Logo, sendo I 0 a intensidade da luz antes de passar pelo polarizador, temos que:

I = I 0 cos 2 ⁡ θ

Passo 2

Queremos descobrir o valor do ângulo α entre o eixo de polarização do filtro e a direção original da polarização da luz para que

I 0 cos 2 ⁡ α = I 2

Vamos começar substituindo I por I 0 cos 2 ⁡ θ .

I 0 cos 2 ⁡ α = I 0 cos 2 ⁡ θ 2

cos 2 ⁡ α = cos 2 ⁡ θ 2

cos ⁡ α = cos ⁡ θ 2

α = cos - 1 ⁡ cos ⁡ θ 2

Resposta

α = cos - 1 ⁡ cos ⁡ θ 2

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 31-38

Na praia a luz em geral é parcialmente polarizada devido às reflexões na areia e na água. Em uma certa praia, em um certo dia, no final da tarde a componente horizontal do vetor campo elétrico é 2,3 vezes maior que a componente vertical.

Um banhista fica de pé e coloca óculos polarizadores que eliminam totalmente a componente horizontal do campo elétrico.

  1. Que fração da intensidade luminosa total chega aos olhos do banhista?
  2. Ainda usando óculos, o banhista se deita de lado na areia. Que fração da intensidade luminosa total chega agora aos olhos do banhista?
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Passo 1

Letra a)

Vamos chamar a componente horizontal de E H e a componente vertical de E V .

Como a componente horizontal é 2,3 vezes maior que a vertical, E H = 2,3   E V , para sabermos a fração do campo elétrico na horizontal precisamos considerar que o campo elétrico incidente é a soma vetorial da sua componente vertical e da sua componente horizontal.

E 0 = E H 2 + E V 2

Apenas a componente vertical atinge os olhos do banhista. Isso significa que a amplitude que passa pelos óculos é E V .

A fração da intensidade luminosa total que vai chegar aos olhos do banhista vai ser:

I I 0 = E V 2 E 0 2 = E V 2 E H 2 + E V 2 = E V 2 2,3 E V 2 + E V 2 = E V 2 5,29 E V 2 + E V 2 = E V 2 6,29 E V 2

I = I 0 6,29 ≅ 0,16 I 0

Logo, 16% da intensidade total chegam aos olhos do banhista.

Passo 2

Letra b)

Quando o banhista se deita de lado, o eixo de polarização dos óculos roda 90 ° . Logo, Agora ele elimina totalmente a componente vertical do campo elétrico. Apenas a componente horizontal atinge seu olho.

Vamos então repetir o raciocínio anterior.

I I 0 = E H 2 E 0 2 = E H 2 E H 2 + E V 2 = E H 2 E H 2 + E H 2,3 2 = E H 2 5,29 E V 2 + E V 2 5,29 = 5,29 E V 2 6,29 E V 2

I = 5,29 6,29   I 0 ≅ 0,84 I 0

Temos então que 84 % da intensidade total chegam aos olhos do banhista.

Resposta

Letra a)

A fração da intensidade total que chega aos olhos do banhista é de 0,16 I 0 .

Letra b)

A fração da intensidade total que chega aos olhos do banhista é de 0,84 I 0 .

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 31-35

Na Fig. 34-43, um feixe de luz inicialmente não-polarizada atravessa três filtros polarizadores cujas direções de polarização fazem ângulos de θ 1 = 40 ° , θ 2 = 20 ° e θ 3 = 40 ° com a direção do e i x o   y .

Que porcentagem da intensidade inicial da luz é transmitida pelo conjunto?

(Sugestão: Preste atenção nos ângulos)

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Passo 1

Como já dizia Jack Estripador: Vamos por partes.

Primeiro, vejamos a intensidade I 1 que passa pelo primeiro polarizador.

Como a luz é inicialmente não-polarizada, essa intensidade vai ser:

I 1 = I 0 2

Onde I 0 é a intensidade da luz inicial.

Passo 2

A luz transmitida pelo primeiro polarizador está linearmente polarizada ao longo do eixo do filtro. Pela imagem, o ângulo entre essa direção e o eixo de polarização do segundo polarizador seria

θ = θ 1 + θ 2 = 60 °

Onde somamos os ângulos pois um gira horário e o outro anti-horário.

Isso significa que a intensidade transmitida pelo segundo polarizador vai ser:

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ θ = I 1 ∙ cos 2 ⁡ 60 ° = I 1 ∙ 1 2 2 = I 1 4

I 2 = I 1 4 = I 0 2 ∙ 1 4 = I 0 8

Passo 3

No terceiro polarizador, o ângulo entre a direção de polarização e a direção do eixo é:

θ = θ 3 + θ 2 = 60 °

Isso nos dá o mesmo resultado de antes:

I 3 = I 2 cos 2 ⁡ 60 ° = I 2   1 2 2 = I 2 4

I 3 = I 0 8 ∙ 1 4 = I 0 32

A intensidade da luz que emerge do conjunto é

I = I 0 32 = 3,125 ∙ 10 - 2 ∙ I 0

Isso significa que aproximadamente 3,1 % da intensidade inicial foi transmitida pelo conjunto.

Resposta

Aproximadamente 3,1 % da intensidade inicial foi transmitida pelo conjunto.

Exercício Resolvido #5

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 37-84

Um feixe de luz não-polarizada atravessa um conjunto de quatro filtros polarizadores orientados de tal forma que o ângulo entre as direções de polarização de filtros vizinhos é 30 ° .

Que fração da luz incidente é transmitida pelo conjunto?

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Passo 1

Quando luz não-polarizada atravessa um polarizador ela emerge com metade da intensidade com a polarização na direção do eixo de polarização. Logo:

I 1 = I 0 2

Isso significa que apenas 1 / 2 da luz incidente é transmitida.

Passo 2

A luz que é transmitida por um polarizador tem a sua polarização na direção do eixo do polarizador. Isso significa que o ângulo que a luz que sai de um polarizador faz com o polarizador seguinte é o mesmo ângulo que os eixos dos filtros fazem entre si.

Como esse ângulo é sempre de 30 ° , a intensidade será reduzida pelo mesmo fator em cada parte. Assim, temos:

I 2 = I 1 cos 2 ⁡ 30 ° = I 0 2 cos 2 ⁡ 30 °