Polarização da Luz

Teoria Completa

Aqui nós vamos tratar de um dos tópicos mais importantes para a sua prova e para a propagação de Ondas Eletromagnéticas.

Esse tópico aborda a Polarização, que é uma característica de todas as ondas eletromagnéticas.

O que é Polarização?

Quando o campo elétrico da onda vibra apenas ao longo do e i x o   y , ou seja, quando só tem uma componente em y , dizemos que ela é linearmente polarizada ao longo da direção y .

Da mesma forma, quando uma onda possui somente a componente em z , dizemos que a onda é linearmente polarizada ao longo direção z .

Nós dizemos que a luz é linearmente polarizada numa dada direção n ^ quando o campo elétrico vibra apenas naquela direção.

Se liga!

Nós sempre vamos definir a direção de polarização de uma onda eletromagnética como a direção do vetor campo elétrico E → .

Vamos adotar essa definição porque, geralmente, os detectores de ondas eletromagnéticas funcionam devido a ação do campo elétrico, e isso rola pois o campo elétrico é muito mais fácil de se detectar que o campo magnético já que a ordem de grandeza do campo elétrico é muito maior, a gente pode provar isso com aquela relação do campo magnético e elétrico da onda:

E = c B

Onde a velocidade da luz é c = 3 × 10 8 m / s .

Assim, uma onda eletromagnética do tipo

E → = E 0 cos ⁡ ( k x - ω t ) j ^

B → = B 0 cos ⁡ ( k x - ω t ) k ^

Está polarizada na direção y porque o campo elétrico possui componente somente na direção y .

Aqui também vale dizer que o campo elétrico em outras situações poderia estar em qualquer direção, sendo assim a gente poderia ter qualquer direção de polarização além das conhecidas x , y e z .

As ondas geradas por uma emissora de rádio geralmente são linearmente polarizadas.

Já fontes de luz como lâmpadas incandescentes ou fluorescentes emitem luz não-polarizada, ou luz natural. Isso significa que o campo elétrico vibra em várias direções, de forma mais ou menos aleatória.

Tipos de polarização

A luz pode vibrar em várias direções diferente, tendo tipos de polarização diferentes.

A polarização da luz pode ser linear, circular ou elíptica, e aí campo elétrico fica mudando de direção de forma a descrever uma reta, uma circunferência e uma elipse, respectivamente.

O campo elétrico da imagem tem duas componentes, uma no e i x o   z e outra no e i x o   y .

  E → = E y m cos ⁡ k x - ω t y ^ + E z m cos ⁡ k x - ω t + δ z ^

A polarização da onda depende dessa defasagem δ entre as duas componentes e suas amplitudes, E y m e E z m .

  • Quando δ = 0 ou δ = π , a polarização é linear, independente das amplitudes.
  • Quando δ = π / 2 e amplitudes forem iguais, a polarização é circular.
  • A polarização elíptica é um caso mais geral, e acontece quando:

  • δ for diferente de 0 ou π e as amplitudes forem diferentes.
  • δ for diferente de 0 , π / 2 ou π   e as amplitudes forem iguais.

Vamos ver como cada caso descreve cada curva.

Polarização linear

Para a polarização linear, temos que δ = 0   o u   π . Ambas as defasagens são equivalentes, só mudando a direção de vibração, pois cos ⁡ ϕ + π = - cos ⁡ ϕ . Usando δ = 0 . Vamos então esboçar o gráfico da polarização do seguinte campo elétrico na unidade Volts/metro.

E → = 10 cos ⁡ k x - ω t j ^ + 5 cos ⁡ k x - ω t k ^ V m  

O gráfico da polarização linear é a equação de uma reta, onde E z = α E y , onde α = E z m / E y m é o coeficiente angular da reta.

Primeiro vamos definir nossas amplitudes em cada direção, pra direção y .

E y m = 10   V / m

Pra direção z :

E z m = 5   V / m  

Dividindo os dois:

E z E y = E z m E y m = 5 10 = α

Enfim:

α = 1 / 2

E se quiser encontrar o ângulo θ , sem problemas:

θ = a r c t g 1 2 = 26,56 °

Voltando ao gráfico a gente pode substituir os valores:

Polarização Circular

Agora vejamos a polarização circular, na qual δ = π / 2 e E y m = E z m = E 0 . A equação geral tem essa cara:

E → = E 0 cos ⁡ k x - ω t y ^ + E 0 cos ⁡ k x - ω t + π 2 z ^

Vamos esboçar um gráfico desse tipo de polarização quando temos E 0 = 4   V / m . Ou seja:

E → = 4 cos ⁡ k x - ω t y ^ + 4 cos ⁡ k x - ω t + π 2 z ^ V m

Pela trigonometria, temos que cos ⁡ a + π 2 = - sen ⁡ ( a ) , e podemos escrever:

E → = 4 cos ⁡ k x - ω t y ^ - sen ⁡ k x - ω t z ^

A equação da circunferência é:

y 2 + z 2 = r 2

Onde r é o raio da circunferência e y , z são os pontos dela.

Vamos tentar escrever essa equação pras componentes do campo elétrico:

E y 2 + E z 2 = E 0 2 cos 2 ⁡ k x - ω t + E 0 2 sen 2 ⁡ k x - ω t = E 0 2 ∙ cos 2 ⁡ k x - ω t + sen 2 ⁡ k x - ω t

A gente dá trigonometria, traz a relação:

cos 2 ⁡ k x - ω t + sen 2 ⁡ k x - ω t = 1

Daí:

E y 2 + E z 2 = E 0 2

Ou seja, E 0 vai ser o raio da circunferência, então pra esboçar o gráfico basta desenhar a circunferência indicando o raio e o sentido do campo elétrico.

Para saber o sentido no qual esse campo elétrico está girando, o ideal é usar um ponto no espaço, digamos x = 0 , e ver como ele gira com o tempo.

Para facilitar, o ideal é fazer para t = 0 e para t = T 4 = 1 4 ∙ 2 π ω (corresponde a um quarto do giro).

Na nossa equação pra x = 0 , e t = 0

E → 0,0 = 4 cos ⁡ 0 y ^ - sen ⁡ 0 z ^ = 4 y ^

Nesse primeiro momento então temos a seguinte posição em vermelho.

Agora para x = 0 e t = 1 4 ∙ 2 π ω .

E → = 4 cos ⁡ 0 - ω π 2 ω y ^ - sen ⁡ 0 - ω π 2 ω z ^

E → = 4 cos ⁡ 0 - π 2 y ^ - sen ⁡ 0 - π 2 z ^

E aí fica:

E → = 4 z ^   V m  

Como ele saiu de y pra z o gráfico fica:

Polarização Elíptica

Vejamos a polarização elíptica. Pelo gráfico lá de cima, vemos que em geral, para δ qualquer, a elipse vem inclinada. A equação de uma elipse inclinada é bem complicada, e acho difícil que vão te pedir pra encontrá-la.

Por isso, vamos usar os casos onde a elipse tá direitinha, δ = π / 2 ou δ = 3 π / 2 com E y m ≠ E z m . Considere que δ = π / 2 .

Vamos ao nosso exemplo, esboçar o gráfico de polarização do seguinte campo:

E → = 6 cos ⁡ k x - ω t y ^ - 3 sen ⁡ k x - ω t z ^   V m

A equação da elipse é:

y 2 a 2 + z 2 b 2 = 1

O a indica a quão alongada a elipse é no eixo y e o b o quanto ela é alongada no eixo z .

Se usarmos a = E y m e b = E z m , nós conseguimos escrever essa equação:

E y 2 E y m 2 + E z 2 E z m 2 = cos 2 ⁡ k x - ω t + sen 2 ⁡ k x - ω t = 1

E y 2 E y m 2 + E z 2 E z m 2 = 1

O sentido do giro pode ser avaliado da mesma forma que na polarização circular! Bora fazer aqui, para x = 0 e t = 0 :

E → ( 0,0 ) = 6 cos ⁡ 0 - 0 y ^ - 3 sen ⁡ 0 - 0 z ^

E → = 6 y ^ V m

Daí no gráfico no primeiro momento fica:

Agora para x = 0 e t = 1 4 ∙ 2 π ω .

E → = 6 cos ⁡ 0 - ω π 2 ω y ^ - 3 sen ⁡ 0 - ω π 2 ω z ^

E → = 6 cos ⁡ - π 2 y ^ - 3 s e n - π 2 z ^ = 3 z ^ V m  

E graficamente:

Então o sentido do giro fica:

Gráficos mostrados, agora é só praticar.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 37-89, modificado

A componente magnética de uma onda luminosa polarizada é dada por

B x = 4,0 × 10 - 6 T sen ⁡ 1,57 × 10 7   m - 1 y + ω t

Determine:

  1. A direção de polarização da luz.
  2. A frequência da luz.
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Passo 1

Letra a)

Como o campo magnético depende apenas de y , sabemos que essa onda se propaga ao longo do eixo y embora não saibamos em que sentido.

A componente magnética é ao longo do eixo x .

Como a componente elétrica tem de ser perpendicular tanto a B → quando a direção de propagação, ela tem de ser perpendicular aos eixos x e y .

Para isso, a componente elétrica tem de estar ao longo do eixo z . Como a direção de polarização é a direção de vibração da componente elétrica, essa onda é polarizada na direção do   e i x o   z .

Passo 2

Letra b)

O número da onda é dado no enunciado, dentro da função seno.

k = 1,57 ∙ 10 7   m - 1

Junto com a frequência angular ele nos dá a velocidade da luz, que é uma constante conhecida c = 3 ∙ 10 8   m / s .

ω k = c

ω = c ∙ k = 3 ∙ 10 8 ∙ ( 1,57 ∙ 10 7 )

Conhecemos também a relação entre a frequência angular e a frequência:

ω = 2 π f

f = ω 2 π = 3 ∙ 10 8 ∙ 1,57 ∙ 10 7 2 π ≅ 7,50 ∙ 10 14 H z

Resposta

Letra a)

A polarização é paralela ao e i x o   z

Letra b)

f ≅ 7,50 ∙ 10 14 H z

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 38-99, modificado

A componente magnética de uma onda polarizada é dada por B x = 4,00 μ T sen ⁡ k y + 2,00 × 10 1 5   s - 1 t . Determine:

  1. A direção de propagação da onda.
  2. A direção de polarização da luz.
  3. Escreva uma expressão para o campo elétrico da onda, incluindo o valor do número de onda.
  4. Determine o comprimento de onda.
  5. Em que região do espectro eletromagnético está essa onda?
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Passo 1

Letra a)

A componente magnética da onda varia apenas ao longo do e i x o   y .

Isso significa que a onda se propaga na direção do e i x o   y .

Se seguirmos a frente de onda temos que ter k y + ω t = c o n s t a n t e . Quando o tempo passa, para essa relação continuar constante, o valor de y tem de diminuir.

Logo, a onda se propaga no sentido negativo do e i x o   y .

Passo 2

Letra b)

A direção de polarização da luz é a direção de vibração do campo elétrico.

O campo magnético no enunciado vibra ao longo do e i x o   x ( B = B x ), e a onda se propaga ao longo do e i x o   y . Como o campo elétrico tem de ser perpendicular a essas duas direções, ele vai vibrar ao longo do e i x o   z .

Logo, a luz é polarizada ao longo do e i x o   z .

Passo 3

Letra c)

Como já temos o campo magnético, nós usamos a relação entre ele e o campo elétrico:

E = c B

Logo:

E = c ∙ 4,00 μ T sen ⁡ k y + 2,00 ∙ 10 1 5   s - 1 t

Multiplicando c = 3 ∙ 10 8 pela amplitude B m = 4,00 μ T = 4,00 ∙ 10 - 6 T :

E m = c ∙ 4,00 ∙ 10 - 6 = 3 ∙ 10 8 ∙ 4 ∙ 10 - 6 = 1200   V / m

Mas o exercício também nos pede para encontrar o número de onda. Para isso, ele nos deu a frequência angular ω = 2,00 ∙ 10 5   s - 1 , sendo que nós já sabemos a velocidade da luz e a relação entre essas três grandezas:

ω k = c

k = ω c = 2,00 ∙ 10 1 5 3 ∙ 10 8 ≅ 6,67 ∙ 10 6   m - 1

Temos então:

E z = 1200   V / m sen ⁡ 6,67 ∙ 10 6   m - 1 y + 2,00 ∙ 10 1 5   s - 1 t

Passo 4

Letra d)

O comprimento da onda é dado pelo número de onda.

k = 2 π λ

λ = 2 π k = 2 π 6,67 ∙ 10 6 ≅ 0,942 ∙ 10 - 6   m = 942   n m

Passo 5

Letra e)

A frequência da onda é dada por:

λ f = c

f = c λ = 3 ∙ 10 8 942 ∙ 10 - 9 = 3,184713 ∙ 10 14 H z

Que está entre a região do infravermelho e da luz visível. Neste caso, precisamos consultar alguma fonte do espectro com bastante precisão para confirmar a região na qual essa onda se encontra.

Em geral, imagens do espectro eletromagnético também mostram o espectro em função do comprimento de onda e neste caso podemos ter certeza que estamos fora da região do visível, que vai de aproximadamente 400   n m (luz violeta) a 750   n m (luz vermelha).

Para este valor, ela está na região do infravermelho.

Resposta

Letra a)

A onda se propaga ao longo do e i x o   y no sentido negativo do eixo.

Letra b)

A luz é polarizada ao longo do e i x o   z .

Letra c)

E z = 1200   V / m sen ⁡ 6,67 ∙ 10 6   m - 1 y + 2,00 ∙ 10 15   s - 1 t

Letra d)

λ ≅ 942   n m

Letra e)

Essa onda está na região do infravermelho.

Exercício Resolvido #3

PUC-RIO, Física 4, Prova 1, 2013.2

Obtenha a polarização da onda eletromagnética representada abaixo. Demonstre o tipo de polarização (linear, circular ou elíptica) e mostre, caso não seja linear, se a polarização é à esquerda ou à direita. Use a técnica vetorial usada em aula:

E z x , t = E z m . sen ⁡ k . x - ω . t ;  

E y x , t = E y m . cos ⁡ ( k . x - ω . t + π )

onde E z m ≠ E y m .

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Passo 1

Para determinar o tipo de polarização, precisamos avaliar se as componentes do vetor campo elétrico tem a mesma amplitude e precisamos também determinar se há diferença de fase entre as componentes, e de quanto é essa diferença.

Passo 2

Para vermos a diferença de fase das duas componentes do campo elétrico, o melhor é escrevermos elas como uma mesma função trigonométrica. A trigonometria nos diz que:

cos ⁡ a ± b = cos ⁡ a cos ⁡ b ∓ sen ⁡ b sen ⁡ a

Se b = π / 2 , temos:

cos ⁡ a + π 2 = - sen ⁡ a

s e n a = cos ⁡ a + π 2

Como a compontente z tem um seno podemos rescrever essa parte como

E z x , t = E z m . sen ⁡ ( k . x - ω . t ) = - E z m cos ⁡ k x - ω t + π 2

Assim:

E y x , t = E y m . cos ⁡ ( k . x - ω . t + π )

E z x , t = - E z m cos ⁡ k x - ω t + π 2

Agora dá pra comparar! A diferença de fase vai ser:

δ = k x - ω t + π - k x - ω t + π 2 = π 2

A polarização será circular ou será elíptica.

Passo 3

Para determinar se a polarização é circular ou elíptica, devemos avaliar se as amplitudes de cada componente são iguais ou diferentes. Pela informação dada, vemos que as amplitudes são diferentes, pois:

E z m ≠ E y m

Então temos uma polarização elíptica

Passo 4

Para determinar o sentido da polarização, precisamos calcular o vetor campo elétrico, que é a soma das componentes, para dois instantes no tempo, para t 1 = 0 e para t 2 = T / 4 , do ponto de observação x = 0 . Sabendo que ω = 2 . π T , temos que T = 2 . π ω , ou seja, t 2 = π 2 . ω .

Para x = 0 e t = 0 , temos:

E z x , t = - E z m . cos ⁡ k . x - ω . t + π 2

E z 0,0 = - E z m . cos ⁡ k . 0 - ω . 0 + π 2 = 0

E y x , t = E y m . cos ⁡ ( k . x - ω . t + π )

E y 0,0 = E y m . cos ⁡ ( k . 0 - ω . 0 + π ) = - E y m

Ou seja, para x = 0 e t = 0 , temos que o vetor campo elétrico é:

E → = - E y m ( j ^ )

Para x = 0 e t = π 2 ω , temos:

E z x , t = - E z m . cos ⁡ k . x - ω . t + π 2

E z 0 , π 2 ω = - E z m . cos ⁡ k . 0 - ω . π 2 ω + π 2 = - E z m cos ⁡ 0 - π 2 + π 2

E z 0 , π 2 ω = - E z m