Energia da Onda Eletromagnética

Teoria Completa

A energia de uma onda eletromagnética

As ondas eletromagnéticas fazem parte do nosso dia-a-dia! Estão por toda parte, e temos diversas aplicações para elas no nosso cotidiano.

Elas carregam energia, afinal de contas, transmissões de televisão, rádio, fornos micro-ondas, lâmpadas e etc., fazem uso da energia que as ondas eletromagnéticas transportam. (inclusive, existem carregadores de celular sem fio!!! )

O nosso trabalho aqui é conseguir entender como essa energia se comporta.

Densidade de energia

Densidade de energia ( u ), por definição, é a energia ( U ) por unidade de volume ( V ). Assim

u = U V

A densidade de energia u em uma região do espaço onde existe apenas um campo elétrico E → e um campo magnético B → é dada por

u = 1 2 ϵ 0 E 2 ⏟ D e n s i d a d e   d e   e n e r g i a   a s s o c i a d a   a E → + 1 2 μ 0 B 2 ⏟ D e n s i d a d e d e   e n e r g i a a s s o c i a d a   a B →

Onde ϵ 0 é a permissividade no vácuo, que vale aproximadamente 8,85 × 10 - 12 C 2 N m 2 .

A constante μ 0 representa a permeabilidade magnética no vácuo, que vale 4 π × 10 - 7 N A 2   .

Ok, quero te mostrar uma coisa nessa fórmula de densidade de energia. Mas antes, vamos relembrar algumas relações muito importantes que vamos utilizar.

E = c B → B = E c

Onde c é a velocidade da luz no vácuo, que vale aproximadamente 3 × 10 8   m/s .

c = 1 ϵ 0 μ 0  

Agora sim, vamos lá!

B = E c → B = ϵ 0 μ 0   E

Substituindo na fórmula de densidade de energia:

u = 1 2 ϵ 0 E 2 ⏟ D e n s i d a d e   d e   e n e r g i a   a s s o c i a d a   a E → + 1 2 μ 0 ( ϵ 0 μ 0   E ) 2 ⏟ D e n s i d a d e d e   e n e r g i a a s s o c i a d a   a B →

u = 1 2 ϵ 0 E 2 ⏟ D e n s i d a d e   d e   e n e r g i a   a s s o c i a d a   a E → + 1 2 ϵ 0 E 2 ⏟ D e n s i d a d e d e   e n e r g i a a s s o c i a d a   a B → = ϵ 0 E 2

Isso nos mostra que a densidade de energia associada ao campo elétrico E → é igual à densidade de energia associada ao campo magnético B → .

Outra coisa que isso nos mostra é que, como o campo elétrico E → e o campo magnético B → variam em função do tempo e da posição ( E → ( x , t ) e B → ( x , t ) ), a densidade de energia também é uma função do tempo e da posição u x , t .

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Exercício Resolvido #1

Young e Freedman, Física III Eletromagnetismo, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 402-32.41, modificado

Um pequeno laser de hélio-neônio emite luz vermelha cujas amplitudes do campo elétrico e do campo magnético são E máx = 694,65   V / m e B máx = 2,31 × 10 - 6   T concentrada em um feixe com diâmetro de 2,50   m m .

  1. Calcule as densidades de energia médias associadas com o campo elétrico e com o campo magnético.
  2. Qual é a energia contida em um comprimento do feixe igual a 1,0   m ?
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Passo 1

Letra a )

O problema nos pede para calcular as densidades de energia médias associadas com o campo elétrico e com o campo magnético.

A densidade de energia u em uma região do espaço onde existe apenas um campo elétrico E → e um campo magnético B → é dada por

u = 1 2 ϵ 0 E 2 ⏟ D e n s i d a d e   d e   e n e r g i a   a s s o c i a d a   a E → + 1 2 μ 0 B 2 ⏟ D e n s i d a d e d e   e n e r g i a a s s o c i a d a   a B → = ϵ 0 E 2

Vamos começar calculando a densidade de energia associada a E → , u E .

u E = 1 2 ϵ 0 E 2

Onde:

E máx = 694,65   V/m ;

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   C 2 / N m 2 ;

Logo:

u E = 694,65 2 × 8,85 × 10 - 12 2

u E ≅ 2,1 × 10 - 6 J m 3

Quando falamos de densidade de energia, nós chegamos a uma conclusão importante, lembra?

Falamos nela que a densidade de energia associada a E → u E é igual à densidade de energia associada à B →   u B , logo:

u B = u E = 2,1 × 10 - 6 J m 3

Passo 2

Letra b )

O problema nos pede para calcular a energia contida em um comprimento do feixe igual a 1,0   m .

Sabemos que a densidade de energia total é

u = u E + u B = 4,2 × 10 - 6 J m 3

Por definição, a densidade de energia u é a energia U por unidade de volume V . Logo:

u = U V → U = u V

Podemos imaginar o feixe do laser como contido em um cilindro, e assim seu volume será:

V = A b a s e ∙ L

Onde L = 1,0   m é o comprimento do cilindro e A b a s e = π r 2 é a área da base. Pelo enunciado, o diâmetro do feixe é 2,50   m m e assim seu raio será:

r = d 2 = 2,5 2 = 1,25   mm = 1,25 × 10 - 3   m

O que nos dá para seu volume:

V = π r 2 L = π × 1,25 × 10 - 3 2 × 1 ≅ 5,0 × 10 - 6   m 3

Logo, a energia contida no feixe será:

U = 4,2 × 10 - 6 × 5,0 × 10 - 6 = 21,0 × 10 - 12   J

Resposta

Letra a )

u B = u E = 2,1 × 10 - 6 J m 3

Letra b )

U = 21,0 × 10 - 12   J

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Mostre que na onda eletromagnética a densidade de energia elétrica é igual a magnética. Além disso, mostre que a densidade de energia total pode ser escrita em função de apenas uma das duas densidades de energia.

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Passo 1

Vamos partir da densidade de energia elétrica, mas poderíamos partir da magnética também.

μ E = 1 2 ε 0 E 2

Temos que:

E = c B

Substituindo na equação:

μ E = 1 2 ε 0 ( c B ) 2

Mas:

c 2 = 1 μ 0 ε 0

Assim, a equacão fica:

μ E = 1 2 ε 0 B 2 × 1 μ 0 ε 0

μ E = 1 2 μ 0 B 2 = μ B

Beleza, encontramos a densidade de energia magnética a partir da elétrica. Se partíssemos da magnética, isso também daria certo.

DICA: Se você quiser a prova disso, olhe o exercicío de trás para frente, a partir desse ponto.

Passo 2

Bom, agora a gente pode partir pra densidade de energia total. Como fizemos pela densidade de energia elétrica, vamos continuar com ela, ok?

A densidade de energia total é dada por:

μ t = μ E + μ B

Mas:

μ E = μ B

Então:

μ t = 2 μ E

μ t = ε 0 E 2

Para quem fez pela densidade de energia magnética:

μ t = 2 μ B

μ t = B 2 μ 0

Resposta

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Uma onda incide em uma superficíe quadrada. Sabendo que o módulo do campo elétrico dessa onda é E = 9 V / m   , encontre a aresta do prisma representado abaixo e a intensidade da luz que emite essa onda, sabendo que a potência da fonte de luz é 2,39W.

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Passo 1

Precisamos encontrar a intensidade da fonte e a aresta, vamos começar com o volume que é dado por:

V = A × ∆ x

Onde A é a área da seção transversal do prisma.

Podemos usar a densidade de energia elétrica para encontrarmos a densidade de energia total

já que temos o campo elétrico.

A densidade de energia total é inicialmente dada por:

μ t = μ E + μ B

Mas:

μ E = μ B

μ t = 2 μ E = ε 0 E

Se a densidade de energia é:

μ = E n e r g i a V

E a energia é:

P o t × ∆ t

A gente pode substituir e a fórmula vai ficar assim:

μ = P o t × ∆ t   A × ∆ x  

Passo 2

Com as duas equações da densidade, podemos igualá-las assim:

ε 0 E = P o t × ∆ t   A × ∆ x  

Relacionando potência e intensidade, conseguimos eliminar uma incógnita:

I = P o t A

P o t = I × A

Voltando na equação, temos:

ε 0 E = I × A × ∆ t   A × ∆ x = I × ∆ t ∆ x    

Mas:

∆ t ∆ x = 1 c