Resolução e Dispersão de uma Rede de Difração

Teoria Completa

Resolução de uma Rede de Difração

A rede de difração consegue separar os diferentes comprimentos de onda que existem na luz branca em linhas de diferentes cores. Porém, como tudo na vida, existe um limite.

Cada rede de difração tem uma variação mínima de comprimento de onda que ela consegue separar.

Se uma dada rede conseguir separar luz com comprimentos de onda λ = 589,00 n m e λ = 589,59 n m , a resolução dela é dada por:

R = 589,295 589,59 - 589 = 589 , 295 0,59 ≅ 999

Onde

589,295 = 589 + 589,59 2

É o comprimento de onda médio.

Ou seja, ela consegue resolver uma variação de 1 999 partes do comprimento de onda.

A menor variação de comprimentos de onda Δ λ que uma rede consegue determinar é descrita pelo poder de resolução cromático R , dado por:

R ≡ λ m é d Δ λ ≅ N m

Onde λ é a média dos dois comprimentos de onda que você deseja separar, N é o número de fendas da rede de difração e m é a ordem das linhas espectrais.

Fisicamente, a resolução é uma medida da largura das franjas de difração de diferentes comprimentos de onda.

Além disso, o motivo de termos R = N m é o critério de Rayleigh:

A distância angular entre dois máximos de um comprimento de onda λ é da ordem de λ d , pois:

sen ⁡ θ m + 1 - sen ⁡ θ m = λ d

Mas como essa distância corresponde a N-1 mínima, a gente pode dizer que a distância do primeiro mínimo depois de um máximo principal é algo na ordem de

1 N ∙ λ d

Além disso, a distância entre a linha de ordem m da luz de comprimento de onda λ + Δ λ e λ é da ordem de m Δ λ d , pois:

sen ⁡ θ λ + Δ λ - sen ⁡ θ λ = m Δ λ d

Assim, igualando os dois pelo critério de Rayleigh, temos:

R ≡ λ m é d Δ λ ≅ N m

Dispersão de uma Rede de Difração

A resolução da rede de difração é uma medida da largura das franjas de interferência, e de o quanto conseguimos distinguir duas cores diferentes.

Mas além dessa largura, tem mais uma coisa que nos permite distinguir as linhas das duas cores: a distância entre essas linhas.

O que usamos como medida de o quanto uma rede afasta franjas de diferentes cores é a dispersão.

O afastamento das franjas é a variação do desvio angular delas.

A diferença de cores é a variação do comprimento de onda.

Vamos definir a dispersão como a razão entre as duas variações: A dispersão de uma rede é a variação do desvio angular para uma dada variação de comprimento de onda.

D = Δ θ Δ λ

Para uma variação muito pequena de λ , D se torna a derivada do desvio angular pelo comprimento de onda da luz.

D ≡ d θ d λ

Da definição tira-se uma fórmula mais prática para o cálculo de D :

D = m d cos ⁡ θ

Vejamos então a dispersão para uma rede de difração com 500   f e n d a s , distância de 1500   n m de distância entre duas fendas consecutivas.

Qual vai ser a dispersão para as linhas de ordem 2 se eu usar luz vermelha ( λ ≅ 670 n m )?

Primeiro, o ângulo para essa linha vai ser dada por:

sen ⁡ θ = m λ d = 2 ∙ 670 1500 = 0,893

θ ≅ 1,105   r a d ≅ 63,3 °

Com isso:

cos ⁡ θ ≅ 0,449

D = 2 1500 ∙ 0,449 ≅ 0,00297 n m - 1

Como ângulo não tem unidade, a unidade da dispersão D vai ser n m - 1

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Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 143-83

Um feixe luminoso que contém uma faixa estreita de frequências em torno de 450   n m incide perpendicularmente em uma rede de difração com uma largura de 1,80   c m e uma densidade de linhas de 1400   l i n h a s / c m .

Para essa luz, qual é a menor diferença de comprimentos de onda que a rede é capaz de resolver em terceira ordem?

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Passo 1

A menor diferença percentual que a rede é capaz de resolver é medida pela resolução da rede. A resolução de uma rede é, de fato, o inverso dessa diferença percentual.

R = λ Δ λ

Assim, para acharmos a diferença de comprimentos de onda que a rede é capaz de resolver, temos:

Δ λ = λ R

Passo 2

A resolução de uma rede de difração em uma ordem m é dada por:

R = N m

Onde N é o número de fendas da rede. Para acharmos esse valor, nós fazemos a largura da rede multiplicada pela densidade de linhas dela.

N = N l ∙ l = 1400 l i n h a s c m ∙ 1,8   c m = 2   520   l i n h a s

Como queremos ver a resolução para terceira ordem:

R = 2520 ∙ 3 = 7   560

Passo 3

Por fim, a luz que estamos avaliando tem comprimento de onda λ = 450   n m .

Δ λ = λ R = 450 7   560 ≅ 0,06   n m

Resposta

A menor diferença de comprimentos de onda que a rede é capaz de resolver em terceira ordem é Δ λ ≅ 0,0 595   n m

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 144-88

Um feixe luminoso contém dois comprimentos de onda, 590,159   n m e 590,220   n m , que devem ser resolvidos com uma rede de difração.

Se a largura da rede é 3,80   c m , qual é o número mínimo de linhas necessário para que os dois comprimentos de onda sejam resolvidos em segunda ordem?

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Passo 1

Para esses dois comprimentos de onda, a média é:

λ m é d = 590,159 + 590,220 2 = 590,1895   n m

E a diferença dos comprimentos de onda é:

Δ λ = 590,220 - 590,159 = 0,061   n m

Assim, a resolução é:

R = λ m é d Δ λ = 590,1895 0,061 ≅ 9   675,24

Passo 2

Outra fórmula para resolução é:

R = N m

Logo, o número de linhas necessária para essa resolução em segunda ordem ( m = 2 ) é:

N = R m ≅ 9   675,24 2 ≅ 4   838   l i n h a s

Cuidado!

Nessa questão tinha uma pegadinha: Em nenhum momento nós usamos a largura da rede. Ela foi uma informação dada que não era necessária.

Resposta

N ≅ 4   838   l i n h a s

Exercício Resolvido #3

PUC-Rio, Física 4, Prova 2, 2013.2, 3II

I I

A luz de uma lâmpada de sódio, com um comprimento de onda 589   n m , incide perpendicularmente em uma rede de difração com 7500   r a n h u r a s em 1,5   c m de largura.

c ) Determine a Dispersão D da rede em segunda ordem.

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Passo 1

c )

Temos que a dispersão é dada pela seguinte fórmula:

D = m d . cos ⁡ θ

Para determinar D , precisamos primeiro determinar θ para segunda ordem, para isso, utilizaremos a seguinte fórmula:

d . sen ⁡ θ = m . λ

Lembrando que d = 1,5 × 10 - 2 7500 = 2 × 10 - 6 , temos:

2 × 10 - 6 . sin ⁡ θ = 2 .   589 × 10 - 9

sin ⁡ θ = 0,589

θ = 36,08 °

Passo 2

Voltando à fórmula da dispersão, temos:

D = m d . cos ⁡ θ

Substituindo, temos:

D = 2 2 × 10 - 6 . cos ⁡ 36,08

D = 1,237 × 10 6   r a d / m

Resposta

c ) D = 1,237 × 10 6   r a d / m

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 144-101

Mostre que a dispersão de uma rede de difração é dada por:

D = tan ⁡ θ λ

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Passo 1

-

Para uma rede de difração, temos que:

D = m d cos ⁡ θ

Usando m como a ordem da primeira franja de interferência, essa ordem vai ser:

m   λ = d sen ⁡ θ

m = d sen ⁡ θ λ

Substituindo:

D = d sen ⁡ θ λ ∙ 1 d cos ⁡ θ = sen ⁡ θ λ cos ⁡ θ = tan ⁡ θ λ

D = tan ⁡ θ λ

Resposta

Exercício Resolvido #5

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 144-95

Uma rede de difração tem uma resolução R = λ m é d / Δ λ = N m .

  1. Mostre que a diferença de frequências que se encontra no limite da resolução, Δ f , é dada por Δ f = c / N m λ .
  2. Para a Fig. 36-22, mostre que a diferença entre os tempos de percurso do raio de baixo e do raio de cima é dada por Δ t = N d / c sen ⁡ θ   .
  3. Mostre que Δ f Δ t = 1 e, portanto, esse produto não depende dos parâmetros da rede. Suponha que N ≫ 1