Difração por N Fendas

Teoria Completa

Onde pode 2, pode 3 e pode o bonde!

A difração por um número qualquer N de fendas não pontuais é muito parecida com a de duas fendas. Dessa vez vai ser como se fosse o produto da interferência por N fendas com a difração por uma fenda não pontual.

Figura de difração para uma fenda simples de largura a :

I I 0 = sen ⁡ β / 2 β / 2 2

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ

Figura de interferência para N fendas separadas por uma distância d :

I I 0 = sen ⁡ N ϕ 2   sen ⁡ ϕ 2 2

ϕ = 2 π d sen ⁡ θ λ

Para a difração por N fendas, a razão entre a intensidade de um ponto e a intensidade máxima da figura agora vai ser:

I I 0 = sen ⁡ β / 2 β / 2 2 sen ⁡ N ϕ 2   sen ⁡ ϕ 2 2

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ

ϕ = 2 π d sen ⁡ θ λ

Os máximos principais da figura continuam no mesmo lugar que os máximos da figura de interferência de duas fendas. Eles são calculados pela relação:

d sen ⁡ θ = m λ

( m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   … )

Quando iluminamos a rede com uma luz monocromática de raios paralelos, a figura obtida é constituída por uma série de linhas em ângulos determinados pela equação acima.

Lembrando algumas informações muito importantes:

  • Existem N - 2 máximos secundários entre cada par de máximos principais.
  • Existem N - 1 mínimos entre cada par de máximos principais, esses pontos são encontrados quando γ = m 2 π / N , m = 1 , 2,3 , … ,   N - 1 .
  • A intensidade máxima da figura acontece na franja central, e é dada por N 2 I 0 , onde I 0 é a intensidade da luz incidente e N é o número de fendas.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2012.1, ME2

Considere a interferência da luz de comprimento de onda λ numa fenda dupla, onde a distância entre o centro das duas fendas é d , cada fenda tem uma largura a e a figura de interferência encontra-se numa tela a uma distância D , tal que D ≫ a - d .

Quando   d = 0,6   m m e a = 0,2   m m , e tivermos 3 fendas, o número de picos de intensidade dentro do máximo central de difração é igual a:

  1. 12
  2. 1
  3. 3
  4. 2
  5. 5
  6. 7
  7. 4
  8. 9
  9. 11
  10. 14
  11. 6
  12. 13
  13. Nenhuma das anteriores
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Passo 1

Ok, antes de resolvermos o problema, vamos buscando o máximo de informações possíveis sobre difração com diversas fendas.

Sabemos que os máximos principais dentro da primeira envoltória são dados por:

sen ⁡ θ = m λ d

Da mesma forma, sabemos que o primeiro mínimo de difração m = 1 é dado por:

sen ⁡ θ d = λ a

Como d > a , temos que, dentro da primeira envoltória:

sen ⁡ θ d > sen ⁡ θ

λ a > m λ d

m < d a

Onde:

d = 0,6   m m = 6 × 10 - 4   m ;

a = 0,2   m m = 2 × 10 - 4   m .

Logo:

m < 6 × 10 - 4 2 × 10 - 4

m < 3

m = 2

Sabemos então que o valor máximo de m é m = 2 .

Assim, teremos 5 máximos principais, referentes aos respectivos valores de m :

m = - 2 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2

Passo 2

Para N fendas, sabemos que existem N - 2 máximos secundários entre dois máximos principais.

Assim, para 3 fendas, teremos 1 máximo secundário entre dois máximos principais.

Como possuímos 5 máximos principais, teremos, no total, 4 máximos secundários.

Passo 3

Vimos também no Passo 1 que:

d a = 3

Isso significa que o primeiro mínimo de difração corresponde ao terceiro máximo de interferência.

Isso quer dizer que existe também um máximo secundário entre o máximo de ordem 2 m = 2 e primeiro mínimo de difração.

Logo, teremos mais 2 máximos secundários, um para cara máximo de ordem 2 m = - 2 ,   + 2 .

Passo 4

Ok, agora vamos fazer a contagem de picos de interferência que encontraremos dentro do máximo central de difração para 3 fendas.

No Passo 1, descobrimos que dentro do máximo central de difração encontramos 5 máximos principais.

No Passo 2, descobrimos que existem, no total, 4 máximos secundários.

No Passo 3, descobrimos que existem mais 2 máximos secundários entre os máximos de ordem 2 e os mínimos de difração.

Portanto, teremos 5+4+2=11 picos de intensidade.

Resposta

Letra (i): 11 picos de intensidade

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2012.1, D2

Uma fonte monocromática de luz, com λ = 600 n m e intensidade conhecida I 0 , incide num conjunto de fendas, onde não conhecemos nem o número de fendas, nem o espaçamento entre elas e nem suas larguras.

Após a luz passar pelas fendas, observa-se a seguinte figura de interferência, onde sen ⁡ θ 1 = 0,2 e sen ⁡ θ 2 = 0,6 .

A partir da figura e dos dados, justificando as suas respostas, determine:

  1. O número de fendas
  2. A intensidade do máximo central
  3. A separação entre as fendas
  4. Podemos afirmar que as fendas são pontuais ou tem largura finita? Justifique.
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Passo 1

Letra (a)

Para interferência com N fendas, sabemos que entre dois máximos principais, existem N - 2 máximos secundários.

Na figura, temos apenas 1 máximo secundário entre dois máximos principais, logo:

N - 2 = 1

N = 3   f e n d a s

Passo 2

Letra (b)

Sabemos que a intensidade do máximo central é proporcional a N 2 .

Logo, a intensidade do máximo central I será:

I = N 2 . I 0

I = 9 I 0

Passo 3

Letra (c)

Os pontos de máximo de interferência são dados por:

d sen ⁡ θ = m λ

d = m λ sen ⁡ θ

No gráfico, vemos que o ângulo θ 2 corresponde ao máximo principal de ordem 1. Logo:

sen ⁡ θ 2 = 0,6 ;

λ = 600 n m = 6 × 10 - 7   m ;

m = 1 ;

Assim:

d = 6 × 10 - 7 0,6 = 10 - 6   m = 1   μ m

Passo 4

Letra (d)

Como podemos observar no gráfico, os máximos principais de primeira ordem possuem a intensidade ligeiramente menor do que o máximo central.

Logo, a situação apresenta, ainda que poucos, efeitos de difração.

Portanto, as fendas possuem larguras finitas.

Resposta

Letra (a):

N = 3   f e n d a s

Letra (b):

I = 9 I 0

Letra (c):

d = 1   μ m

Letra (d):

As fendas possuem larguras finitas.

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2011.2, D2

No gráfico abaixo, da intensidade pelo sen ⁡ θ , a intensidade I = 1 representa a intensidade máxima de um padrão de interferência de fendas com a mesma largura a e distando entre si de d .

Considere o comprimento de onda igual a λ .

Responda, justificando:

  1. Quantas fendas há? Sabendo que por cada fenda passa uma intensidade luminosa igual a I 0 , quanto vale a intensidade máxima do padrão de interferência?
  1. Qual o valor de sen ⁡ θ para o ponto P no gráfico?
  2. Qual o valor de sen ⁡ θ para o ponto Q no gráfico?
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Passo 1

Letra a)

Sabemos que para N fendas, existem N - 2 máximos secundários entre cada par de máximos principais.

Assim, observando o gráfico, vemos que existem 4 máximos secundários entre cada par de máximos principais.

Logo:

N - 2 = 4

N = 6   fendas

Passo 2

Sabemos que a altura de cada máximo principal é proporcional a N 2 .

Logo, como há 6 fendas, a intensidade máxima do padrão de interferência será:

I = I 0   N 2

I = 36   I 0

Passo 3

Letra b)

O ponto P corresponde ao terceiro mínimo de difração.

O primeiro mínimo de difração ocorre quando:

δ = 2 π N = 2 π 6 = π 3

O terceiro mínimo de difração é dado por:

3 × δ = π

Passo 4

Podemos associar a diferença de fase entre as ondas através da equação:

δ = 2 π   d sen ⁡ θ λ    

Logo:

δ = π = 2 π   d sen ⁡ θ λ

sen ⁡ θ = λ 2 d

Passo 5

Letra c)

O ponto Q se refere ao máximo principal de ordem 2. Podemos calcular a posição dos máximos principais de difração através da equação:

d sen ⁡ θ = m λ

Nesse caso:

m = 2 ;

sen ⁡ θ = 2 λ d

Resposta

Letra (a): 6   fendas

Letra (b): sen ⁡ θ = λ / 2 d

Letra (c): sen ⁡ θ = 2 λ / d

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Física 4, Prova 1, 2015.1, D2

Considere um feixe de luz monocromática, com comprimento de onda λ conhecido, que incide perpendicularmente num conjunto de fendas cuja estrutura queremos descobrir.

Após passar pelas fendas, a luz incide uma placa fotográfica paralela às fendas que registra uma série de traços claros (máximos) e escuros (mínimos) como mostrado na figura abaixo.

Esta figura foi interpretada como tendo uma intensidade relativa dada pela figura seguinte, onde na região entre θ = - 10 ° e θ = + 10 ° foram medidos 17 picos luminosos.

Considere que nos dois pontos referentes a θ = ± 10 ° a intensidade relativa é nula e que sen ⁡ 5 ° ≈ 0,09 e que sen ⁡ 10 ° ≈ 0,18 . Simplifique o máximo possível o seu resultado.

a ) Quantas fendas existem no conjunto? Com base nos dados experimentais as fendas são pontuais? Há uma separação entre elas?

b ) Se as fendas não forem pontuais, qual sua largura?

c ) Qual a separação entre as fendas?

d ) Qual a intensidade relativa do terceiro pico (sem contar o pico central) à direita do pico central, sabendo que o pico central tem intensidade máxima igual a I 0 ?

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Passo 1

a ) Quantas fendas existem no conjunto? Com base nos dados experimentais as fendas são pontuais? Há uma separação entre elas?

Para interferência com N fendas, sabemos que entre dois máximos principais, existem N - 2 máximos secundários.

No gráfico de intensidade, não temos nenhum máximo secundário entre dois máximos principais, logo:

N - 2 = 0

N = 2   f e n d a s

Passo 2

Caso as fendas fossem pontuais, os máximos principais teriam a mesma amplitude. No gráfico de interferência, podemos ver que, a partir do máximo central, conforme θ aumenta ou diminui, as amplitudes dos máximos principais decaem.

Esse comportamento é típico de difração. Logo, as fendas não são pontuais.

Portanto, as duas fendas possuem uma abertura a e um espaçamento d entre elas.

Passo 3

b ) Se as fendas não forem pontuais, qual sua largura?

A intensidade relativa é dada por:

I = I 0 sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ  

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

Onde o termo sen ⁡ β / 2 β / 2 2 está relacionado à difração (é só observar que é na expressão de β que aparece a largura a das fendas).

O enunciado diz que em θ = ± 10 ° a intensidade relativa é nula. Assim, o primeiro mínimo de difração se dará quando:

sen ⁡ β / 2 = 0

β 2 = π

1 2 2 π   a sen ⁡ 10 ° λ = π

π   a sen ⁡ 10 ° λ = π

  a sen ⁡ 10 ° λ = 1

a = λ sen ⁡ 10 °

Segundo o enunciado, sen ⁡ 10 ° ≈ 0,18 . Logo:

a = λ 0,18

Passo 4

c ) Qual a separação entre as fendas?

Se quisermos calcular a separação d entre as fendas, temos que olhar pros efeitos de interferência entre as fendas.

Olhando para a equação da intensidade relativa

I = I 0 sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ  

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

O termo cos 2 ⁡ γ 2 está relacionado com a interferência (é só observar que é na expressão de γ que aparece a separação d entre as fendas).

Os máximos de interferência no gráfico de intensidade acontecem quando:

cos 2 ⁡ γ 2 = 1

Logo:

γ 2 = m π

Substituindo a expressão de γ , teremos:

1 2 2 π   d sen ⁡ θ λ = m π

d sen ⁡ θ λ = m

d = m λ sen ⁡ θ

Como já esperávamos porque, quando falamos em interferência, os máximos de interferência são dados por:

d sen ⁡ θ = m λ

Agora precisamos de um valor para m .

Passo 5

Bom, o problema nos diz que na região entre θ = - 10 ° e θ = + 10 ° foram medidos 17 picos luminosos.

Como são 17 picos luminosos, eles estarão associados aos seguintes valores de m :

m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 ,   ± 4 ,   ± 5 ,   ± 6 ,   ± 7 ,   ± 8

Entretanto, os picos + 8 e - 8 aparecem antes do mínimo de difração, em θ = 10 ° .

Assim, o máximo valor de m corresponderá ao máximo de interferência que coincide com o primeiro mínimo de difração θ = ± 10 ° .

Isso acontece porque, se um máximo de interferência coincide com o mínimo de difração, nós continuaremos não vendo esse pico luminoso, que estaria θ = 10 ° .

Por isso vemos apenas 17 picos luminosos (1 no centro, 8 à esquerda e 8 à direita) e não vemos os dois picos luminosos presentes no ângulo θ = 10 ° à esquerda e à direita.

Esses picos luminosos correspondem a m = ± 9 . Logo, o máximo valor de m é 9.

Sendo assim:

d = m λ sen ⁡ θ

Onde m = 9 e sen ⁡ θ = 0,18 .

d = 9 λ 0,18

d = 50 λ

Passo 6

d ) Qual a intensidade relativa do terceiro pico (sem contar o pico central) à direita do pico central, sabendo que o pico central tem intensidade máxima igual a I 0 ?

A intensidade relativa é dada por:

I = I 0 sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ  

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ

O terceiro pico luminoso corresponderá a m = 3 , logo:

d = m λ sen ⁡ θ → sen ⁡ θ = m λ d

sen ⁡ θ = 3 λ d = 3 λ 50 λ

sen ⁡ θ = 3 50

Substituindo as expressões de a , d e sen ⁡ θ , teremos:

β = 2 π   a sen ⁡ θ λ = 2 π λ × λ 0,18 × 3 50

β = 2 π 3 → β 2 = π 3

γ = 2 π   d sen ⁡ θ λ = 2 π λ × 50 λ × 3 50

γ = 6 π → γ 2 = 3 π

Obs: Já escrevi os coeficientes β e γ divididos por dois pois é assim que eles aparecem na fórmula da intensidade relativa.

Passo 7

Agora já podemos calcular a intensidade:

I = I 0 sen ⁡ β / 2 β / 2 2 cos 2 ⁡ γ 2

Onde:

β 2 = π 3

γ 2 = 3 π

Logo:

I = I 0 sen ⁡ π / 3 π / 3 2 cos 2 ⁡ 3 π

I = I 0 3 / 2 π / 3 2 - 1 2

I = I 0 3 / 4 π 2 / 9

I = I 0 3 4 × 9 π 2

I = I 0 27 4 π 2

Resposta

a )

duas fendas no conjunto. Ambas as fendas possuem uma abertura a e um espaçamento d entre elas.

b )

a = λ 0,18

c )

d = 50 λ

d )

I = I 0 27 4 π 2

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