Redes de Difração

Teoria Completa

O que faz os CDs funcionarem?

Vamos voltar a falar de CDs.

Um CD tem, na parte de baixo, vários sulcos. Eles são compostos pelo que chamamos de “ilhas” e “poços”, que são elevações e vales nos CDs ao longo de uma trilha em espiral que o seu computador vai lendo.

Os poços funcionam como as fendas da interferência e difração de N fendas!

Assim, o CD é na verdade um conjunto com um número enorme de fendas paralelas, que podemos dizer que têm aproximadamente a mesma largura a e a mesma distância d entre os centros de duas fendas consecutivas.

Um conjunto com uma quantidade enorme de fendas paralelas é chamado de rede de difração. Essa rede é na verdade um experimento de difração por N fendas, onde N é ENORME. ( 500 fendas é pequeno para o que chamamos de ENORME).

Às vezes, essas fendas também são chamadas de linhas, por serem muito pequenas, quase pontuais.

Quando isso acontece, as nossas franjas de interferências vão ficando menos largas, virando linhas.

Nesse arranjo, novamente, os máximos são calculados pela relação

sen ⁡ θ = m λ d

( m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   … )

Essa fórmula é na verdade um agente duplo:

  • Quando iluminamos a rede com uma luz monocromática, a figura obtida é constituída por uma série de linhas em ângulos determinados por ela.
  • As linhas m = ± 1 são chamadas de linhas de primeira ordem, as linhas m = ± 2 são chamadas de linhas de segunda ordem, e assim por diante.

  • Quando iluminamos a rede de difração com luz branca (que possui vários comprimentos de onda), podemos determinar o ângulo para cada cor através da equação acima.

É isso que acontece quando olhamos um CD.

Como cada cor tem um comprimento de onda, os ângulos das linhas mudam para cada uma delas, e aí o CD decompõe a luz branca em todas as suas cores.

Como agora temos uma quantidade absurdamente grande de fendas, vamos parar de falar por exemplo que eu tenho 500 fendas e falar que eu tenho 5   f e n d a s /   m m em uma rede que tem 100 m m de comprimento.

Qual a distância entre duas fendas consecutivas?

Sabemos que essa distância é sempre igual a d . Se eu tenho 500 fendas, a distância total entre elas é 500 ∙ d . Essa distância total é o comprimento da rede! A distância entre duas fendas vai ser 500 ∙ d = 100 m m que dá d = 0,2 m m .

Agora façamos isso de uma forma mais geral.

Vamos chamar o número de fendas por unidade de comprimento de N l .

Assim, se tivermos N fendas em uma rede com comprimento L :

N l = N L

Como o comprimento da rede é a distância total entre as fendas, L = N ∙ d .

N l = 1 d

E o nosso agente duplo muda de forma! Ele está evoluindo!

Sua equação evoluiu para:

sen ⁡ θ = N l ∙ m ∙ λ

Observação:

Como N l em geral é um valor grande, quando trabalharmos com redes de difração, os ângulos serão grandes. Isso significa que não podemos mais usar nossa aproximação de pequenos ângulos. Ou seja

sen ⁡ θ ≠ θ

Redes de Difração com Luz Incidente Inclinada

Quando a luz incide numa rede de difração, seus raios podem vir de qualquer direção, fazendo diferentes ângulos com a rede.

Quando isso acontece, as condições para interferência construtiva (as posições das franjas brilhantes) são diferentes de quando a luz incide perpendicularmente à rede e ficam:

d ∙   sen ⁡ ψ + sen ⁡ θ   = m ∙ λ

Onde ψ é o ângulo de incidência da luz e θ é o ângulo de saída da luz.

Qual a diferença de ir de 2 para milhares de fendas?

Quando o número de fendas aumenta muito, os máximos principais da figura de interferência vão se estreitando, até se tornarem linhas.

Mas o quanto essas linhas são realmente “linhas”, e não franjas largas?

Na verdade, a largura de metade da franja é dada por:

Δ θ 2 ≅ λ N d cos ⁡ ( θ )  

Onde N é o número de fendas, d é a distância entre duas fendas consecutivas e θ é o ângulo que corresponde a nossa linha.

Vamos ver na nossa rede com 500   f e n d a s que distam 1000 n m das consecutivas, uma luz com um comprimento de onda de 670 n m para a linha de ordem 1

Para esta linha, temos:

sen ⁡ θ = λ d

λ = d ∙ sen ⁡ θ

Assim, a meia largura é dada por:

Δ θ 2 = d ∙ sen ⁡ θ N d cos ⁡ θ = tan ⁡ θ N

Mas θ = sen - 1 ⁡ λ d = sen - 1 ⁡ 670 1000 ≅ 0,734   r a d

tan ⁡ θ ≅ 0,9

Δ θ 2 = 0,9 500 = 0,0018   r a d ≅ 0,10 °

Ou seja, é praticamente uma linha mesmo.

Para a linha central (linha de ordem 0), o ângulo é θ = 0 , e logo a meia largura vai ser:

Δ θ 2 = λ N d

Intensidade das Franjas

A rede de difração, embora tenha um número absurdamente grande de fendas, continua sendo um caso de difração por um número N de fendas.

Logo, embora sua figura de interferência seja composta por várias linhas:

A altura dessas linhas é dada pela mesma fórmula da intensidade de difração por N fendas.

I I 0 = sen ⁡ β / 2 β / 2 2 sen ⁡ N ϕ 2   sen ⁡ ϕ 2 2

β = 2 π   a sen ⁡ ( θ ) λ

ϕ = 2 π d sen ⁡ θ λ

Onde a é a largura de cada fenda, d é a distância entre duas fendas consecutivas, θ é o desvio angular do ponto e λ é o comprimento de onda da luz incidente.

Além disso, a intensidade máxima I m á x da figura é dada por:

I m á x = N 2 I 0

E isso acontece na franja central.

Também temos que:

  • Existem N - 2 máximos secundários entre cada par de máximos principais.
  • Existem N - 1 mínimos entre cada par de máximos principais, esses pontos são encontrados quando γ = m 2 π / N , m = 1,2 , 3 , … ,   N - 1 .

Porém, nesse caso, esses máximos secundários vão ser muito pequenos em comparação com as linhas de interferência.

Rede de Difração com Vários Comprimentos de Onda

Na rede de difração, a posição das linhas é dada por:

sen ⁡ θ = m λ d

( m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   … )

Ou

sen ⁡ θ = N l ∙ m ∙ λ

( m = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   … )

Essas posições dependem diretamente do comprimento de onda da luz utilizada. Mas e se a luz for branca, que possui vários comprimentos de onda?

A posição das linhas de cada cor vai ser dada pela equação acima para cada comprimento de onda! Assim, você vai ver a luz branca virar linhas coloridas. Uma forma de ver isso é apontar uma lanterna de LED branca para certos tipos de TV.

Simbora pros exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 141-46

Talvez para confundir os predadores, alguns besouros girinídeos tropicais são coloridos por interferência ótica produzida por escamas cujo alinhamento forma uma rede de difração (que espalha a luz em vez de transmiti-la).

Quando os raios luminosos incidentes são perpendiculares à rede de difração o ângulo entre os máximos de primeira ordem (localizados dos dois lados do máximo de ordem zero) é aproximadamente 26 ° para uma luz com um comprimento de onda de 550   n m .

Qual é a distância efetiva entre as ranhuras da rede de difração?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para redes de difração, os máximos continuam sendo dados por:

sen ⁡ θ = m ∙ λ d

Onde d é a distância entre duas ranhuras da rede.

A distância entre os dois máximos de primeira ordem m = ± 1 é dada por θ = 26 ° . Mas como podemos ver na fórmula, já que sen ⁡ θ = - sen ⁡ ( - θ ) , teremos que, em módulo, os ângulos entre os máximos e o centro da figura serão iguais.

Logo, para o máximo com m = 1 , seu ângulo é:

θ 1 = 26 ° 2 = 13 °

Passo 2

Rearranjando a condição de máximo de interferência:

d = m λ sen ⁡ θ

Avaliando o máximo de primeiro ordem ( m = 1 ), que tem ângulo θ 1 = 13 ° para uma luz com comprimento de onda λ = 550   n m :

d = 550 sen ⁡ 13 ° ≅ 2   444,98   n m ≅ 2,445   μ m

Resposta

A distância efetiva entre as ranhuras da rede de difração é d ≅ 2,445   μ m .

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 144-87

Uma rede de difração com 3,00   c m de largura produz um máximo de segunda ordem a 33,0 ° quando o comprimento de onda da luz é 600   n m .

Qual é o número de fendas da rede?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O ângulo do máximo de segunda ordem da rede de difração é dado por:

sen ⁡ θ = N l ∙ m ∙ λ = 2 N l λ

O enunciado nos diz que:

  • θ = 33 °
  • λ = 600   n m = 600 ∙ 10 - 9   m

Rearranjando e substituindo:

N l = sen ⁡ θ 2 λ = sen ⁡ 33 ° 2 ∙ 600 ∙ 10 - 9 ≅ 453   865,86   l i n h a s / m = 4   538,6586   l i n h a s / c m

Passo 2

Como temos N l ≅ 4   538,6586   f e n d a s / c m , o número de fendas da nossa rede, que tem 3   c m de largura, é:

n = 3 ∙ 4   538,6586 ≅ 13   616   l i n h a s

Resposta

n ≅ 13   616   l i n h a s

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 144-97

Uma rede de difração tem 8900 fendas em 1,20   c m . Se uma luz com um comprimento de onda de 500   n m