Teoria Completa
As ondas de partículas
Antes, a luz era uma onda eletromagnética. Depois, ela virou várias partículas chamadas fótons. Ué, ela é onda ou matéria afinal???
Na verdade, ela é os dois ao mesmo tempo. A luz observada por nós tem comportamento de partícula, porém no aspecto microscópico, ou seja se a gente ampliar muito vai conseguir observar que ela também realiza fenômeno ondulatório.
Com isso, Louis de Broglie sugeriu que a matéria também tivesse características de ondas e de partículas, e propôs relacionar um comprimento de onda às partículas de matéria:
Onde é o momento linear da partícula e é a constante de Planck.
Essas equações são válidas para qualquer tipo de matéria. Entretanto, no caso de corpos macroscópicos, os comprimentos de onda são tão pequenos que é impossível observar propriedades ondulatórias perceptíveis.
A situação é diferente para elétrons de baixa energia.
Vamos ver um exemplo, imagina um elétron que possua energia cinética qual será o seu comprimento de onda?
O momento linear clássico para uma partícula é dado por:
E vamos precisar relacionar ele com a energia cinética que é dada por:
Multiplicando os dois lados por .
Daí temos:
Logo, o seu comprimento de onda será dado por:
Vamos calcular o comprimento de onda associado ao elétron. Multiplicando o numerador e o denominador por a gente pode encontrar uma forma de encontrar o comprimento de onda em nanômetros pra energia cinética em elétron-Volt .
Onde e e enfim temos a fórmula que nos dá o resultado já em nanômetros para um elétron com energia em .
Lembrando que quando for necessário utilizar a energia em ou converter pra a relação é:
Então substituindo nossa energia cinética temos:
Obs: Cuidado para não confundir a unidade de medida elétron-Volt com o produto da carga do elétron pela diferença de potencial . É importante ficar ligado no contexto.
Para o elétron, o seu comprimento de onda associado é muito próximo do seu “tamanho” e, por isso, o seu comportamento ondulatório é muito acentuado!
Por isso é possível observar o comportamento ondulatório do elétron, sendo ele sujeito aos fenômenos de interferência (quando duas ondas interferem uma na outra) e difração.
O comprimento de onda perceptível está na ordem até , por isso se a gente pegar um corpo macroscópico não vamos conseguir perceber, saca só esse exemplo:
Uma bola de tênis possui massa , é lançada numa velocidade de 80m/s. Sabendo que a constante de planck é avaliar se há comportamento ondulatório pra bola.
Aqui vamos usar o comprimento de onda de De Broglie e avaliar se tem um movimento ondulatório perceptível.
E:
Substituindo os valores:
E voltando no , podemos substituir e encontrar:
Então veja, é bizarramente menor podemos considerar que é quase zero pra efeito de comprimento de onda. Então mostramos que corpos macroscópicos não possuem características ondulatórias perceptíveis.
Dualidade onda-partícula
A luz, que é uma onda, exibe propriedades corpusculares também quando interage com a matéria, como no efeito fotoelétrico e no espalhamento Compton onde ela transfere momento linear.
Os elétrons, que são partículas, exibem propriedades ondulatórias, como interferência e difração.
“Tudo se propaga como se fosse uma onda e troca energia como se fosse uma partícula.”
Beleza! Vamos praticar?
Exercício Resolvido #1
Calcule o comprimento de onda de de Broglie:
- De um elétron de .
- De um fóton de .
- De um nêutron de .
Dados:
Massa do elétron
Massa do nêutron
Passo 1
O comprimento de onda de de Broglie de uma partícula é:
Onde é o momento linear da partícula.
Passo 2
Letra a)
Considerando que toda a energia do elétron é cinética, temos:
Onde é a energia cinética do elétron. Além disso:
E ficamos com:
Temos:
Passo 3
Letra b)
Para o fóton podemos usar que
O que nos dá:
Passo 4
Letra c)
Assim como no item :
Porém dessa vez usamos a massa do nêutron.
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)
Exercício Resolvido #2
Calcule o comprimento de onda de De Broglie de uma bala de que se desloca com velocidade igual a .
A bala exibirá propriedades semelhantes a ondas?
Passo 1
O comprimento de onda é dado por:
Passo 2
Onde:
;
;
Logo:
Passo 3
Onde:
;
;
;
;
Logo:
Resposta
;
Não, pois o comprimento de onda é muito pequeno, tornando impossível observar propriedades ondulatórias perceptíveis.
Exercício Resolvido #3
Para que um próton, um elétron, e um fóton tenham todos o mesmo comprimento de onda de de Broglie associado, eles precisam ter:
O mesmo momento angular.
O mesmo momento linear.
A mesma velocidade.
A mesma energia.
Um fóton, por ter massa de repouso nula, não pode ter o mesmo comprimento de onda de de Broglie associado que uma partícula cuja massa de repouso não seja nula.
Nenhuma das anteriores
Passo 1
O comprimento de onda de de Broglie é dado por:
Assim, como é uma constante, o comprimento de onda de de Broglie depende somente do momento linear.
Portanto, para que tanto o próton, quanto o elétron e o fóton tenham o mesmo comprimento de onda de de Broglie, é necessário todos tenham o mesmo momento linear.
A resposta certa é a letra .
Resposta
O mesmo momento linear.
Exercício Resolvido #4
Uma partícula não-relativística está se movendo três vezes mais depressa que um elétron.
A razão entre o comprimento de onda de de Broglie da partícula e o comprimento de onda de de Broglie do elétron é .
Identifique a partícula, calculando sua massa.
Dado:
Massa do elétron
Passo 1
O comprimento de onda de de Broglie de uma partícula é dado por:
A razão entre o comprimento de onda da partícula e o do elétron vai ser:
Passo 2
O enunciado nos diz que a velocidade da partícula é três vezes a do elétron.
E nos diz também que:
Substituindo:
Na verdade, essa é a massa de um nêutron!
Resposta
Exercício Resolvido #5
A Fig.38-22 mostra um elétron que se move:
- No sentido oposto ao de um campo elétrico.
- No mesmo sentido que um campo elétrico.
- No mesmo sentido que um campo magnético.
- Perpendicularmente a um campo magnético.
Determine, para cada uma das situações, se o comprimento de onda de de Broglie aumenta com o tempo, diminui com o tempo ou permanece constante.
Passo 1
O comprimento de onda de de Broglie do elétron é dado por:
Quando o elétron for não relativístico.
Essa fórmula nos diz que, quanto maior a velocidade do elétron, menor seu comprimento de de Broglie.
Passo 2
Na letra , a carga negativa tem inicialmente uma velocidade com sentido oposto ao campo elétrico.
Mas pela carga ser negativa irá atuar sobre ela uma força elétrica que aumenta sua velocidade.
Logo seu comprimento de onda de de Broglie diminui.
Já na letra a carga negativa tem uma velocidade no mesmo sentido do campo elétrico, mas vai ter uma força atuando no sentido oposto. Isso freia a partícula, diminuindo sua velocidade.
Com a sua velocidade diminuindo seu comprimento de onda de de Broglie aumenta.
Passo 3
A força que atua numa carga em movimento devido a uma força elétrica é:
Em módulo:
Onde é o ângulo entre e .
Assim, quando a partícula se movimento paralelamente ao campo magnético temos e não atua nenhuma força nela, mantendo sua velocidade constante.
Por isso seu comprimento de onda de de Broglie é constante.
Quando o movimento da partícula é perpendicular ao campo magnético, ela sofre uma força magnética perpendicular ao seu movimento.
Pela força ser perpendicular ao movimento ela não altera o módulo da velocidade, apenas sua direção. (Colocado de outra forma: Forças perpendiculares não realizam trabalho).
Por isso, novamente, o comprimento de onda de de Broglie do elétron é constante.
Resposta
Caso a) Comprimento de onda de de Broglie diminui.
Caso b) Comprimento de onda de de Broglie aumenta.
Caso c) O comprimento de onda de de Broglie não muda.
Caso d) O comprimento de onda de de Broglie não muda.
Exercício Resolvido #6
No tubo de imagem de um velho aparelho de televisão os elétrons são acelerados por uma diferença de potencial de .
Qual é o comprimento de onda de de Broglie desses elétrons?
(Não é necessário levar em conta efeitos relativísticos)
Dado:
Massa do elétron
Passo 1
O comprimento de onda de de Broglie do elétron (não relativístico) é:
Onde é a energia cinética do elétron, e .
Quando o elétron é acelerado por uma diferença de potencial, ele adquire uma energia cinética igual a energia elétrica que ele recebe.
Temos que é a carga do elétron (carga elementar) e é a diferença de potencial (de acordo com o enunciado).
Assim:
Passo 2
Vamos listar o valor de cada coisa e substituir na fórmula:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Íons monovalentes de sódio são acelerados por uma diferença de potencial de .
- Qual é o momento final dos íons?
- Qual é o comprimento de de Broglie correspondente?
Dado:
Massa molar do sódio
Constante de Avogrado
Passo 1
Letra a)
Os íons adquirem uma energia cinética igual a energia elétrica impressa neles.
Onde é a carga do íon. Como o íon é monovalente, falta um elétron a ele, e sua carga fica igual a carga elementar.
E pelo enunciado .
Passo 2
O momento final dos íons se relaciona com a energia cinética obtida por eles.
Sendo que é a massa de um único átomo de sódio.
Um mol de átomos de sódio tem uma massa de . Fazendo uma regra de três, podemos achar a massa de um único átomo.
Substituindo tudo:
Passo 3
Letra b)
O comprimento de onda de de Broglie é
Temos:
Resposta
Letra a)
Letra b)